与えられた3つの数について、それぞれの正の約数の個数と、その約数の総和を求める問題です。 (1) $5 \cdot 2^3$ (2) $108$ (3) $540$

1. 問題の内容

与えられた3つの数について、それぞれの正の約数の個数と、その約数の総和を求める問題です。

(1) $5 \cdot 2^3$

(2) $108$

(3) $540$

2. 解き方の手順

(1) $5 \cdot 2^3$ の場合

まず、与えられた数を素因数分解します。この場合はすでに素因数分解された形になっています。

$5 \cdot 2^3 = 5^1 \cdot 2^3$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を加えて掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(1+1) \cdot (3+1) = 2 \cdot 4 = 8$

約数の総和は、各素因数について、その素数の0乗から指数の数までの和を取り、それらを掛け合わせたものです。

約数の総和 = $(5^0 + 5^1) \cdot (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) = (1 + 5) \cdot (1 + 2 + 4 + 8) = 6 \cdot 15 = 90$

(2) $108$ の場合

まず、$108$を素因数分解します。

$108 = 2^2 \cdot 3^3$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を加えて掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(2+1) \cdot (3+1) = 3 \cdot 4 = 12$

約数の総和は、各素因数について、その素数の0乗から指数の数までの和を取り、それらを掛け合わせたものです。

約数の総和 = $(2^0 + 2^1 + 2^2) \cdot (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3) = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3 + 9 + 27) = 7 \cdot 40 = 280$

(3) $540$ の場合

まず、$540$を素因数分解します。

$540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を加えて掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(2+1) \cdot (3+1) \cdot (1+1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$

約数の総和は、各素因数について、その素数の0乗から指数の数までの和を取り、それらを掛け合わせたものです。

約数の総和 = $(2^0 + 2^1 + 2^2) \cdot (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3) \cdot (5^0 + 5^1) = (1 + 2 + 4) \cdot (1 + 3 + 9 + 27) \cdot (1 + 5) = 7 \cdot 40 \cdot 6 = 1680$

3. 最終的な答え

(1) 約数の個数: 8, 約数の総和: 90

(2) 約数の個数: 12, 約数の総和: 280

(3) 約数の個数: 24, 約数の総和: 1680