三角形ABCの外心O, 内心I、外接円の半径R, 内接円の半径rが与えられたとき、R, r, OIの関係を調べ、空欄を埋める。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O, 内心I、外接円の半径R, 内接円の半径rが与えられたとき、R, r, OIの関係を調べ、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(ア) $\angle HAI = \angle BAI$であるから、選択肢の中からBAIを選ぶ。

(イ) $\triangle AHI$と$\triangle EBD$は相似であり、$\angle HAI = \angle BAI = \angle BED$、$\angle AHI = \angle EBD = 90^\circ$であるから、

$ED : AI = BD : HI$が成り立つ。よって、BDを選ぶ。

(ウ) $\triangle DIB$において、$\angle DIB = \angle DAI + \angle ABI$である。選択肢の中からDAIを選ぶ。

$\angle DAI = \angle CAD = \angle CBD$ であるから、$\angle DIB = \angle CBI + \angle CBD = \angle DBI$

(エ) ゆえに、$\triangle DBI$は二等辺三角形であり、$BD = ID$が成り立つ。選択肢の中からBDを選ぶ。

(オ) $AI \cdot ID = AI \cdot BD$

(カ) 方べきの定理より、$AI \cdot AD = FO \cdot OG$

$AI \cdot (AI+ID) = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2$

$AI \cdot ID = AI \cdot BD = R^2 - OI^2$であるから、

$AI \cdot (AD) = (FO + OI)(GO-OI)$

(キ) $AI \cdot AD = AI \cdot (AI + ID) = R^2-OI^2$より、$AI \cdot (AI + BD) = R^2 - OI^2$

$AI \cdot AD = (FO+OI)(GO-OI) = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2$

$FO+OI=R$

$GO-OI=R$

AI・(AD)=(FO+OI)(GO-OI)=(R+OI)(R-OI)=R^2-OI^2

したがって、FO+OIとGO-OIを選ぶ。

(ク)

①、②、③から、$OI^2 = R^2 - 2Rr$が成り立つ。（オイラーの定理）

3. 最終的な答え

ア：2

イ：2

ウ：2

エ：0

オ：2

カ：5

キ：5

ク：4