$m$ を実数とする。放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (1) と直線 $y = mx - m + 2$ (2) がある。 (1) 直線 (2) は $m$ の値にかかわらず定点を通る。この点を求めよ。 (2) 放物線 (1) と直線 (2) は異なる2点で交わることを示せ。 (3) 放物線 (1) と直線 (2) の交点のx座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、(1) と (2) で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表せ。 (4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ を実数とする。放物線 $y = x^2 - 4x + 4$ (1) と直線 $y = mx - m + 2$ (2) がある。

(1) 直線 (2) は $m$ の値にかかわらず定点を通る。この点を求めよ。

(2) 放物線 (1) と直線 (2) は異なる2点で交わることを示せ。

(3) 放物線 (1) と直線 (2) の交点のx座標を $\alpha, \beta (\alpha < \beta)$ とするとき、(1) と (2) で囲まれた部分の面積 $S$ を $\alpha, \beta$ で表せ。

(4) $S$ を $m$ で表し、$S$ の最小値とそのときの $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $y = mx - m + 2$ を $m$ について整理すると、

$y = m(x - 1) + 2$

この式が任意の $m$ に対して成り立つためには、

$x - 1 = 0$ かつ $y = 2$

したがって、$x = 1$ かつ $y = 2$

よって、直線 (2) は $m$ の値にかかわらず定点 $(1, 2)$ を通る。

(2)

放物線 (1) と直線 (2) の交点の $x$ 座標を求めるために、$y$ を消去して、$x$ の方程式を作る。

$x^2 - 4x + 4 = mx - m + 2$

$x^2 - (4 + m)x + (2 + m) = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つことを示す。

判別式 $D$ は、

$D = (4 + m)^2 - 4(2 + m)$

$D = 16 + 8m + m^2 - 8 - 4m$

$D = m^2 + 4m + 8$

$D = (m + 2)^2 + 4$

任意の $m$ に対して、 $(m + 2)^2 \geq 0$ であるから、 $D = (m + 2)^2 + 4 > 0$ である。

したがって、放物線 (1) と直線 (2) は異なる2点で交わる。

(3)

放物線 (1) と直線 (2) で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{(mx - m + 2) - (x^2 - 4x + 4)\} dx$

$S = \int_{\alpha}^{\beta} \{-x^2 + (4 + m)x - (2 + m)\} dx$

$S = -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx$

$S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4)

$x^2 - (4 + m)x + (2 + m) = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4 + m$

$\alpha \beta = 2 + m$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

$(\beta - \alpha)^2 = (4 + m)^2 - 4(2 + m)$

$(\beta - \alpha)^2 = 16 + 8m + m^2 - 8 - 4m$

$(\beta - \alpha)^2 = m^2 + 4m + 8$

$(\beta - \alpha)^2 = (m + 2)^2 + 4$

$\beta - \alpha = \sqrt{(m + 2)^2 + 4}$

$S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

$S = \frac{1}{6} \{(m + 2)^2 + 4\}^{3/2}$

$S$ を最小にする $m$ は、 $(m + 2)^2$ を最小にする $m = -2$ である。

このとき、 $(m + 2)^2 = 0$ であるから、

$S = \frac{1}{6}(0 + 4)^{3/2}$

$S = \frac{1}{6}(4^{3/2}) = \frac{1}{6}(8) = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, 2)$

(2) 判別式 $D = (m + 2)^2 + 4 > 0$ より、異なる2点で交わる。

(3) $S = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

(4) $S = \frac{1}{6} \{(m + 2)^2 + 4\}^{3/2}$, $S$ の最小値は $\frac{4}{3}$, そのときの $m$ の値は $-2$