与えられた式 $\frac{2x^2 + x + 1}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2x^2 + x + 1}{2x\sqrt{x}\sqrt{x+1}}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、分母の根号を整理します。

$\sqrt{x}\sqrt{x+1} = \sqrt{x(x+1)} = \sqrt{x^2+x}$ なので、分母は $2x\sqrt{x^2+x}$ となります。したがって、式は以下のようになります。

$\frac{2x^2 + x + 1}{2x\sqrt{x^2+x}}$

ここで、分子を無理やり $x^2 + x$ を含む形に変形することを試みます。

$2x^2+x+1 = 2(x^2+x) -x + x + 1 = 2(x^2+x) + 1$

したがって、式は以下のように書き換えられます。

$\frac{2(x^2+x) + 1}{2x\sqrt{x^2+x}}$

ここで、$\sqrt{x^2+x} = t$ と置換すると、$x^2+x = t^2$ となります。

すると、式は以下のようになります。

$\frac{2t^2 + 1}{2xt}$

ここで、$\frac{2x^2 + x + 1}{2x\sqrt{x^2+x}}$ の形から、これ以上簡略化することは難しいと判断します。

$x\sqrt{x}=\sqrt{x^2} \sqrt{x} = \sqrt{x^3}$

$2 x \sqrt{x} \sqrt{x+1} = 2 \sqrt{x^3(x+1)} = 2\sqrt{x^4 + x^3}$

$\frac{2x^2 + x + 1}{2 \sqrt{x^4 + x^3}}$

これ以上簡単にすることは難しい。

3. 最終的な答え

$\frac{2x^2 + x + 1}{2x\sqrt{x(x+1)}}$