実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、$ab+bc+ca$ の値と $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、$ab+bc+ca$ の値と $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $ab+bc+ca$ の値を求める。

$(a+b+c)^2$ を展開すると、

$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$

問題文より、$a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ なので、

$$1^2 = 13+2(ab+bc+ca)$$

$$1 = 13+2(ab+bc+ca)$$

$$2(ab+bc+ca) = -12$$

$$ab+bc+ca = -6$$

(2) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ の値を求める。

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を展開すると、

$$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) = 2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)$$

問題文より、$a^2+b^2+c^2=13$ であり、(1)より $ab+bc+ca=-6$ なので、

$$2(13)-2(-6) = 26+12 = 38$$

3. 最終的な答え

$ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 38$