与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。以下の4つの問題があります。 (1) $4ab^3$, $2a^2bc$, $6a^3b^2c^2$ (2) $x(x-1)$, $(x-1)^2$ (3) $x^2+x-2$, $x^4+2x^2-3$ (4) $x^2+2x$, $x^2+x-2$, $x^2+4x+4$

1. 問題の内容

与えられた整式の組について、最大公約数と最小公倍数を求める問題です。以下の4つの問題があります。

(1) $4ab^3$, $2a^2bc$, $6a^3b^2c^2$

(2) $x(x-1)$, $(x-1)^2$

(3) $x^2+x-2$, $x^4+2x^2-3$

(4) $x^2+2x$, $x^2+x-2$, $x^2+4x+4$

2. 解き方の手順

最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) を求める手順は以下の通りです。

(1) 各整式を素因数分解する。

(2) GCD: 各整式に共通する素因数の最小の指数を取る。

(3) LCM: 各整式に現れる素因数の最大の指数を取る。

(1) $4ab^3$, $2a^2bc$, $6a^3b^2c^2$

$4ab^3 = 2^2 \cdot a \cdot b^3$

$2a^2bc = 2 \cdot a^2 \cdot b \cdot c$

$6a^3b^2c^2 = 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot c^2$

GCD: $2 \cdot a \cdot b = 2ab$

LCM: $2^2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot c^2 = 12a^3b^3c^2$

(2) $x(x-1)$, $(x-1)^2$

$x(x-1) = x \cdot (x-1)$

$(x-1)^2 = (x-1)^2$

GCD: $(x-1)$

LCM: $x(x-1)^2$

(3) $x^2+x-2$, $x^4+2x^2-3$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^4+2x^2-3 = (x^2+3)(x^2-1) = (x^2+3)(x+1)(x-1)$

GCD: $(x-1)$

LCM: $(x+2)(x-1)(x^2+3)(x+1) = (x+2)(x+1)(x-1)(x^2+3)$

(4) $x^2+2x$, $x^2+x-2$, $x^2+4x+4$

$x^2+2x = x(x+2)$

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

$x^2+4x+4 = (x+2)^2$

GCD: $(x+2)$

LCM: $x(x+2)^2(x-1)$

3. 最終的な答え

(1) 最大公約数: $2ab$, 最小公倍数: $12a^3b^3c^2$

(2) 最大公約数: $x-1$, 最小公倍数: $x(x-1)^2$

(3) 最大公約数: $x-1$, 最小公倍数: $(x+2)(x+1)(x-1)(x^2+3)$

(4) 最大公約数: $x+2$, 最小公倍数: $x(x+2)^2(x-1)$