関数 $y = ax + b$ において、$2 \le x \le 5$ のとき $-1 \le y \le 5$ となる。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ において、$2 \le x \le 5$ のとき $-1 \le y \le 5$ となる。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ の符号によって場合分けして考える。

(i) $a > 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ も増加するから、$x=2$ のとき $y=-1$、$x=5$ のとき $y=5$ となる。よって、

$2a + b = -1$

$5a + b = 5$

この連立方程式を解く。

(ii) $a < 0$ のとき

$x$ が増加すると $y$ は減少するから、$x=2$ のとき $y=5$、$x=5$ のとき $y=-1$ となる。よって、

$2a + b = 5$

$5a + b = -1$

この連立方程式を解く。

(i) $a > 0$ の場合：

連立方程式を解く。

$2a + b = -1$

$5a + b = 5$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$3a = 6$

$a = 2$

$a=2$ を1番目の式に代入すると、

$2(2) + b = -1$

$4 + b = -1$

$b = -5$

$a = 2 > 0$ なので、これは条件を満たす。

(ii) $a < 0$ の場合：

連立方程式を解く。

$2a + b = 5$

$5a + b = -1$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$3a = -6$

$a = -2$

$a=-2$ を1番目の式に代入すると、

$2(-2) + b = 5$

$-4 + b = 5$

$b = 9$

$a = -2 < 0$ なので、これは条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 2, b = -5$ または $a = -2, b = 9$