3つの直線 $x+ay=0$, $bx+y=2$, $x+y=3$ が与えられたとき、以下の条件を満たす $a, b$ に関する条件をそれぞれ求める。 (1) 3直線は共有点を持たない（平行であるか、2直線が平行で残りの1直線がそれらと交わる場合）。 (2) 3直線が1点で交わる。

1. 問題の内容

3つの直線 $x+ay=0$, $bx+y=2$, $x+y=3$ が与えられたとき、以下の条件を満たす $a, b$ に関する条件をそれぞれ求める。

(1) 3直線は共有点を持たない（平行であるか、2直線が平行で残りの1直線がそれらと交わる場合）。

(2) 3直線が1点で交わる。

2. 解き方の手順

(1) 3直線が共有点を持たない条件を求める。

まず、$bx+y=2$ と $x+y=3$ が平行でない場合を考える。このとき、$bx+y=2$ と $x+y=3$ の交点を求める。

$x+y=3$ より $y=3-x$。これを $bx+y=2$ に代入すると、

$bx + (3-x) = 2$

$(b-1)x = -1$

$x = \frac{-1}{b-1} = \frac{1}{1-b}$

$y = 3 - x = 3 - \frac{1}{1-b} = \frac{3(1-b)-1}{1-b} = \frac{3-3b-1}{1-b} = \frac{2-3b}{1-b}$

したがって、2直線の交点は $(\frac{1}{1-b}, \frac{2-3b}{1-b})$ となる。

この点が $x+ay=0$ 上にない場合、3直線は共有点を持たない。

$x+ay=0$ に代入すると、

$\frac{1}{1-b} + a\frac{2-3b}{1-b} = 0$

$1 + a(2-3b) = 0$

$1 + 2a - 3ab = 0$

$2a - 3ab = -1$

$a(3b-2) = 1$

$a = \frac{1}{3b-2}$

したがって、$a \neq \frac{1}{3b-2}$ ならば、3直線は1点で交わらない。

次に、$bx+y=2$ と $x+y=3$ が平行な場合を考える。このとき、$b=1$。

3直線は $x+ay=0$, $x+y=2$, $x+y=3$ となる。$x+y=2$ と $x+y=3$ は平行なので共有点を持たない。したがって、3直線が共有点を持たないためには、$b=1$ かつ $a \neq 1$ であればよい。$b=1$ のとき、$a = \frac{1}{3b-2} = \frac{1}{3-2}=1$ であるので、$a \neq 1$ は、$a \neq \frac{1}{3b-2}$ を満たす。

2直線が平行であることだけでは、3直線が共有点を持たないとは言えないので、他に平行な組がないか確認する。

$x+ay=0$ の傾きは $-\frac{1}{a}$

$bx+y=2$ の傾きは $-b$

$x+y=3$ の傾きは $-1$

$x+ay=0$ と $bx+y=2$ が平行なとき、$-\frac{1}{a}=-b$, $ab=1$

$x+ay=0$ と $x+y=3$ が平行なとき、$-\frac{1}{a}=-1$, $a=1$

$bx+y=2$ と $x+y=3$ が平行なとき、$-b=-1$, $b=1$

$ab=1$ のとき、$a=\frac{1}{b}$。$a \neq \frac{1}{3b-2}$ に代入すると、$\frac{1}{b} \neq \frac{1}{3b-2}$。したがって、$b \neq 3b-2$, $2b \neq 2$, $b \neq 1$。

したがって、$ab=1$ かつ $b \neq 1$ のとき、3直線は共有点を持たない。

(2) 3直線が1点で交わる条件を求める。

$bx+y=2$ と $x+y=3$ の交点は $(\frac{1}{1-b}, \frac{2-3b}{1-b})$ であった。この点が $x+ay=0$ 上にあるとき、3直線は1点で交わる。

したがって、$a = \frac{1}{3b-2}$ のとき、3直線は1点で交わる。

3. 最終的な答え

(1) 3直線は共有点を持たない：$a \neq \frac{1}{3b-2}$

(2) 3直線が1点で交わる：$a = \frac{1}{3b-2}$