与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $$ \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} $$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。

$$\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}}$$

2. 解き方の手順

まず、第1項の分母を有利化します。$1+\sqrt{6} = a$ とおくと、$a+\sqrt{7}$ を有利化するために、$a-\sqrt{7}$ を分子と分母にかけます。

$$\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}} = \frac{1}{a+\sqrt{7}} = \frac{a-\sqrt{7}}{(a+\sqrt{7})(a-\sqrt{7})} = \frac{a-\sqrt{7}}{a^2 - 7}$$

$a = 1+\sqrt{6}$ なので、$a^2 = (1+\sqrt{6})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7+2\sqrt{6}$ です。

したがって、$a^2 - 7 = (7+2\sqrt{6}) - 7 = 2\sqrt{6}$ となります。

$$\frac{a-\sqrt{7}}{a^2 - 7} = \frac{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2\sqrt{6}}$$

次に、この式をさらに有利化するために、分子と分母に$\sqrt{6}$ をかけます。

$$\frac{(1+\sqrt{6}-\sqrt{7})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}+6-\sqrt{42}}{12}$$

次に、第2項の分母を有利化します。

$$\frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{5-2\sqrt{6}}{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} = \frac{5-2\sqrt{6}}{25 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{5-2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5-2\sqrt{6}$$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$$\frac{\sqrt{6}+6-\sqrt{42}}{12} + 5-2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}+6-\sqrt{42} + 60 - 24\sqrt{6}}{12} = \frac{66 - 23\sqrt{6} - \sqrt{42}}{12}$$

これを整理すると、

$$\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}} + \frac{1}{5+2\sqrt{6}} = \frac{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2\sqrt{6}} + 5 - 2\sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}+6-\sqrt{42}}{12} + 5 - 2\sqrt{6}$$

$5-2\sqrt{6}=\frac{60-24\sqrt{6}}{12}$ より

$$\frac{\sqrt{6}+6-\sqrt{42}}{12}+\frac{60-24\sqrt{6}}{12}=\frac{66-23\sqrt{6}-\sqrt{42}}{12}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{66-23\sqrt{6}-\sqrt{42}}{12}$$