初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ がある。 (1) $a_n$ の一般項を求める。 (2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。 (3) $c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。$n \ge 2$ のとき、$T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n$ より $(1 - \text{6})T_n = \text{7} + \text{8} \cdot \text{9}(3 + 3^2 + \cdots + 3^{\text{10}}) - \text{11}(\text{12}n - \text{13}) \cdot 3^{\text{14}}$ となるとき、$T_n$ を求める。

1. 問題の内容

初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ がある。

(1) $a_n$ の一般項を求める。

(2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。

(3) $c_n = a_n b_n$, $T_n = \sum_{k=1}^n c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。$n \ge 2$ のとき、$T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n$ より $(1 - \text{6})T_n = \text{7} + \text{8} \cdot \text{9}(3 + 3^2 + \cdots + 3^{\text{10}}) - \text{11}(\text{12}n - \text{13}) \cdot 3^{\text{14}}$ となるとき、$T_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ を用いる。$a_1 = 2$, $d = 5$ なので、

$a_n = 2 + (n-1)5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$.

したがって、$a_n = 5n - 3$ となる。

(2) $a_n = 5n - 3$ が2桁の自然数である条件は $10 \le 5n - 3 \le 99$ である。

$13 \le 5n \le 102$

$2.6 \le n \le 20.4$

$3 \le n \le 20$

よって、求める総和 $S$ は $\sum_{n=3}^{20} (5n - 3) = 5 \sum_{n=3}^{20} n - 3 \sum_{n=3}^{20} 1$ である。

$\sum_{n=3}^{20} n = \sum_{n=1}^{20} n - (1+2) = \frac{20 \cdot 21}{2} - 3 = 210 - 3 = 207$

$\sum_{n=3}^{20} 1 = 20 - 3 + 1 = 18$

$S = 5 \cdot 207 - 3 \cdot 18 = 1035 - 54 = 981$

したがって、求める総和は $981$ となる。

(3) $T_n = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + \cdots + a_nb_n = \sum_{k=1}^n a_kb_k$

$a_k = 5k-3$

$b_k = 2 \cdot 3^{k-1}$

$c_k = a_k b_k = (5k-3)(2 \cdot 3^{k-1}) = (10k-6)3^{k-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^n (10k-6)3^{k-1}$

与えられた条件より、$(1 - 3)T_n = -2 T_n = \sum_{k=1}^n (10k-6)3^{k-1} - 3\sum_{k=1}^n (10k-6)3^{k-1}$

$-2T_n = a_1b_1 + \sum_{k=2}^n a_k b_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k b_k \cdot 3 - a_n b_n \cdot 3$

$-2T_n = a_1b_1 + \sum_{k=2}^n a_k b_k - \sum_{k=1}^{n-1} a_k b_k \cdot 3 - 3 a_nb_n$

$-2T_n = \sum_{k=1}^n (10k-6)3^{k-1} - 3\sum_{k=1}^n (10k-6)3^{k-1}$

問題文から $(1-3)T_n = 7 + 8 \cdot 9 (3 + 3^2 + \cdots + 3^{10}) - 11(12n - 13) \cdot 3^{14}$

$-2 T_n = a_1 b_1 - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$.

$10 \cdot 19$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 3$

1:5, 2:3

(2) $S = 981$

3:9, 4:8, 5:1

(3)

6:3

7:4

8:10

9:2

10:n-1

11:10

12:5

13:1

14:n

15:10

16:5

17:n

18:+

19:n

20:6

21:-

22:2