クラーメルの公式を用いて、次の連立一次方程式を解きます。 $3x - y + 2z = -7$ $-x + 5y - 3z = 35$ $x - y + 3z = -19$

1. 問題の内容

クラーメルの公式を用いて、次の連立一次方程式を解きます。

$3x - y + 2z = -7$

$-x + 5y - 3z = 35$

$x - y + 3z = -19$

2. 解き方の手順

まず、係数行列 $A$ と定数ベクトル $b$ を定義します。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} -7 \\ 35 \\ -19 \end{pmatrix}$

次に、行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 3(5 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1)) - (-1)((-1) \cdot 3 - (-3) \cdot 1) + 2((-1) \cdot (-1) - 5 \cdot 1)$

$= 3(15 - 3) + 1(-3 + 3) + 2(1 - 5)$

$= 3(12) + 1(0) + 2(-4)$

$= 36 + 0 - 8 = 28$

次に、$x$, $y$, $z$ を求めるために、$A$ の各列を $b$ で置き換えた行列の行列式を計算します。

$|A_x| = \begin{vmatrix} -7 & -1 & 2 \\ 35 & 5 & -3 \\ -19 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -7(5 \cdot 3 - (-3) \cdot (-1)) - (-1)(35 \cdot 3 - (-3) \cdot (-19)) + 2(35 \cdot (-1) - 5 \cdot (-19))$

$= -7(15 - 3) + 1(105 - 57) + 2(-35 + 95)$

$= -7(12) + 1(48) + 2(60)$

$= -84 + 48 + 120 = 84$

$|A_y| = \begin{vmatrix} 3 & -7 & 2 \\ -1 & 35 & -3 \\ 1 & -19 & 3 \end{vmatrix} = 3(35 \cdot 3 - (-3) \cdot (-19)) - (-7)((-1) \cdot 3 - (-3) \cdot 1) + 2((-1) \cdot (-19) - 35 \cdot 1)$

$= 3(105 - 57) + 7(-3 + 3) + 2(19 - 35)$

$= 3(48) + 7(0) + 2(-16)$

$= 144 + 0 - 32 = 112$

$|A_z| = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -7 \\ -1 & 5 & 35 \\ 1 & -1 & -19 \end{vmatrix} = 3(5 \cdot (-19) - 35 \cdot (-1)) - (-1)((-1) \cdot (-19) - 35 \cdot 1) + (-7)((-1) \cdot (-1) - 5 \cdot 1)$

$= 3(-95 + 35) + 1(19 - 35) - 7(1 - 5)$

$= 3(-60) + 1(-16) - 7(-4)$

$= -180 - 16 + 28 = -168$

クラーメルの公式を用いて、$x$, $y$, $z$ を求めます。

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{84}{28} = 3$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{112}{28} = 4$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-168}{28} = -6$

3. 最終的な答え

$x = 3$, $y = 4$, $z = -6$