次の計算をせよ。 (1) $\sum_{k=1}^{4} 2$ (2) $\sum_{k=1}^{10} (2k+1)$ (3) $\sum_{i=1}^{5} 3^{i}$ (4) $\sum_{i=1}^{n} i^{3}$ (5) $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{ }\left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right)$ (6) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{n}{ }$

## 回答

1. 問題の内容

次の計算をせよ。

(1) $\sum_{k=1}^{4} 2$

(2) $\sum_{k=1}^{10} (2k+1)$

(3) $\sum_{i=1}^{5} 3^{i}$

(4) $\sum_{i=1}^{n} i^{3}$

(5) $\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{ }\left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right)$

(6) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{n}{ }$

2. 解き方の手順

(1) シグマの定義より、定数2を4回足し合わせます。

$\sum_{k=1}^{4} 2 = 2+2+2+2 = 8$

(2) シグマの定義に従い、kに1から10までの整数を代入して足し合わせます。

$\sum_{k=1}^{10} (2k+1) = (2(1)+1) + (2(2)+1) + ... + (2(10)+1)$

$= 3 + 5 + 7 + ... + 21$

これは等差数列の和なので、公式を使います。

初項 $a = 3$、末項 $l = 21$、項数 $n = 10$

和 $S = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{10(3+21)}{2} = \frac{10 \times 24}{2} = 120$

(3) シグマの定義に従い、iに1から5までの整数を代入して足し合わせます。

$\sum_{i=1}^{5} 3^{i} = 3^{1} + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + 3^{5}$

$= 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363$

(4) 累乗の和の公式を利用します。

$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

問題文の形に合わせるために、式変形を行います。

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

選択肢にあるように、$\frac{8}{9}n(n+10)$という形にするために、問題文の誘導に乗ります。

$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

与えられた式に当てはめると、$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$なので、

$\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{ }{9}n(n+ )$

(5) 部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{A}{4n-1} + \frac{B}{4n+3}$

$1 = A(4n+3) + B(4n-1)$

$4n-1 = 0$のとき、$n = \frac{1}{4}$なので、$1 = A(1+3) + B(0) \implies 1 = 4A \implies A = \frac{1}{4}$

$4n+3 = 0$のとき、$n = -\frac{3}{4}$なので、$1 = A(0) + B(-3-1) \implies 1 = -4B \implies B = -\frac{1}{4}$

よって、$\frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right)$

(6) (5)の結果を利用して、シグマ計算を行います。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$

$= \frac{1}{4} \left[ (\frac{1}{3} - \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} - \frac{1}{11}) + (\frac{1}{11} - \frac{1}{15}) + ... + (\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}) \right]$

$= \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$

$= \frac{1}{4} \left( \frac{4n+3-3}{3(4n+3)} \right) = \frac{1}{4} \frac{4n}{3(4n+3)} = \frac{n}{3(4n+3)} = \frac{n}{12n+9} = \frac{n}{3(4n+3)}$

問題文の形に合わせるために、分母を12n+9で固定し、空欄に数字を埋めることを考えます。

$\frac{n}{3(4n+3)} = \frac{n}{12n+9}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 120

(3) 363

(4) $\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ , $\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{8}{32}n^2(n+1)^2$

$\sum_{i=1}^{n} i^{3} = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}$

(5) $\frac{1}{4}$

(6) $\frac{n}{12n+9}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k-1)(4k+3)} = \frac{n}{3(4n+3)}$

1: 8

2: 1

3: 2

4: 0

5: 3

6: 6

7: 3

8: 1

9: 4

10: 1

11: 2

12: 4

13: 3

14: 4

15: 3