与えられた数列に関するいくつかの値を求める問題です。 (1) 初項が2、公比が1の等比数列$\{a_n\}$について、$a_{10}$と$S_{10}$の値を求めます。選択肢から選びます。 (2) $a_3=11$, $a_8=1$である等差数列$\{a_n\}$について、$a_n$を求め、S_n=0となるnの値を求めます。 (3) 数列$\{a_n\}$が6, 7, 6, 3, -2, -9,...で与えられたとき、階差数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求め、数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。 (4) $a_1=3$, $a_{n+1}=2a_n -1$を満たす数列$\{a_n\}$について、一般項$a_n$を求めます。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた数列に関するいくつかの値を求める問題です。

(1) 初項が2、公比が1の等比数列$\{a_n\}$について、$a_{10}$と$S_{10}$の値を求めます。選択肢から選びます。

(2) $a_3=11$, $a_8=1$である等差数列$\{a_n\}$について、$a_n$を求め、S_n=0となるnの値を求めます。

(3) 数列$\{a_n\}$が6, 7, 6, 3, -2, -9,...で与えられたとき、階差数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求め、数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めます。

(4) $a_1=3$, $a_{n+1}=2a_n -1$を満たす数列$\{a_n\}$について、一般項$a_n$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

等比数列の一般項は$a_n = a_1 r^{n-1}$で与えられます。ここで、$a_1 = 2$, $r = 1$なので、$a_n = 2 \cdot 1^{n-1} = 2$となります。したがって、$a_{10} = 2$となります。

等比数列の和は$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$で与えられます。しかし、$r=1$なので別の公式を使います。$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n 2 = 2n$となるため、$S_{10} = 2 \cdot 10 = 20$となります。

したがって、1 = 1, 2 = 3です。

(2)

等差数列の一般項は$a_n = a_1 + (n-1)d$で与えられます。$a_3 = a_1 + 2d = 11$および$a_8 = a_1 + 7d = 1$が与えられています。この連立方程式を解くと、

$a_1 + 7d = 1$

$a_1 + 2d = 11$

上の式から下の式を引くと、$5d = -10$, よって$d = -2$。

これを$a_1 + 2d = 11$に代入すると、$a_1 - 4 = 11$, よって$a_1 = 15$。

したがって、$a_n = 15 + (n-1)(-2) = 15 - 2n + 2 = 17 - 2n$となります。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(15 + 17 - 2n) = \frac{n}{2}(32 - 2n) = n(16 - n)$となります。

$S_n = 0$となるのは、$n(16 - n) = 0$, よって$n = 0$または$n = 16$。$n=0$はありえないので、$n=16$となります。

したがって、3 = -2, 4 = 17, 5 = -, 6 = 2, 7 = 16, 8 = 16となります。

(3)

階差数列は、$b_n = a_{n+1} - a_n$で定義されます。数列$\{a_n\}$は6, 7, 6, 3, -2, -9,...なので、階差数列は1, -1, -3, -5, -7,...となります。これは等差数列で、初項は1、公差は-2です。したがって、$b_n = 1 + (n-1)(-2) = 1 - 2n + 2 = 3 - 2n$となります。

数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。$n \ge 2$のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 6 + \sum_{k=1}^{n-1} (3 - 2k) = 6 + 3(n-1) - 2\sum_{k=1}^{n-1} k = 6 + 3(n-1) - 2\frac{(n-1)n}{2} = 6 + 3n - 3 - n^2 + n = -n^2 + 4n + 3$となります。

$n=1$のとき、$a_1 = -1^2 + 4(1) + 3 = -1 + 4 + 3 = 6$となるので、この式は$n=1$のときも成り立ちます。

したがって、$a_n = -n^2 + 4n + 3$となります。

したがって、9 = 3, 10 = -, 11 = 2, 12 = -, 13 = 4, 14 = 3です。

(4)

$a_1=3, a_{n+1}=2a_n - 1$ を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めます。

$a_{n+1} - 1 = 2(a_n - 1)$より、数列$\{a_n - 1\}$は、初項 $a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$、公比2の等比数列となります。

よって、$a_n - 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$

したがって、$a_n = 2^n + 1$となります。

したがって、15 = n, 16 = 1

3. 最終的な答え

(1) $a_{10} = 2$, $S_{10} = 20$。1=1, 2=3。

(2) $a_n = 17 - 2n$, $n = 16$。3=-2, 4=17, 5=-, 6=2, 7=16, 8=16。

(3) $b_n = 3 - 2n$, $a_n = -n^2 + 4n + 3$。9=3, 10=-, 11=2, 12=-1, 13=4, 14=3。

(4) $a_n = 2^n + 1$。15=n, 16=1。