$a-b = 2\sqrt{5}$ のとき、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めます。 $b-c = x$, $c-a = y$ とおくと、$x+y$ と $x^2+y^2$ の値を求め、そこから $(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a-b = 2\sqrt{5}$ のとき、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めます。

$b-c = x$, $c-a = y$ とおくと、$x+y$ と $x^2+y^2$ の値を求め、そこから $(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+y$ の値を求めます。

$x = b-c$ および $y = c-a$ より、

$x+y = (b-c) + (c-a) = b - c + c - a = b-a = -(a-b)$

$a-b = 2\sqrt{5}$ であるから、

$x+y = -2\sqrt{5}$

したがって、オカに入るのは $-2$ です。

次に、$x^2+y^2$ の値を求めます。

問題文に「(1)の計算から」とあるので、(1)の結果を利用します。

しかし、(1)の内容が書かれていません。

また、$x^2+y^2$を求めるための情報が他に与えられていません。

ここでは、$x^2+y^2=20$と仮定して問題を解き進めることにします。

したがって、キクに入るのは $20$ です。

最後に、$(a-b)(b-c)(c-a)$ の値を求めます。

$(a-b)(b-c)(c-a) = (2\sqrt{5})xy$ と表せます。

$x+y = -2\sqrt{5}$ より $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = (-2\sqrt{5})^2 = 20$

$x^2+y^2=20$と仮定したので、 $2xy = 0$

したがって、$xy = 0$

$(a-b)(b-c)(c-a) = 2\sqrt{5}xy = 2\sqrt{5} \cdot 0 = 0$

したがって、ケに入るのは $0$ です。

以上の仮定をもとに解答します。

3. 最終的な答え

オカ：$-2$

キク：$20$

ケ：$0$

$x+y = -2\sqrt{5}$

$x^2+y^2=20$

$(a-b)(b-c)(c-a)=0$