初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。以下の問いに答える。 (1) $a_n$ の一般項を求める。 (2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。 (3) $c_n = a_n b_n$ , $T_n = \sum_{k=1}^{n} c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。

1. 問題の内容

初項2、公差5の等差数列 $\{a_n\}$ と、初項2、公比3の等比数列 $\{b_n\}$ が与えられている。以下の問いに答える。

(1) $a_n$ の一般項を求める。

(2) $a_n$ のうち、2桁の自然数である項の総和 $S$ を求める。

(3) $c_n = a_n b_n$ , $T_n = \sum_{k=1}^{n} c_k$ とするとき、$T_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ に、初項 $a_1 = 2$ 、公差 $d = 5$ を代入する。

$a_n = 2 + (n-1)5 = 2 + 5n - 5 = 5n - 3$

よって、$a_n = 5n-3$。したがって、1には5が入る。2には3が入る。

(2) $a_n = 5n-3$ が2桁の自然数である条件は、 $10 \le 5n-3 \le 99$ を満たすことである。

$10 \le 5n-3$ より $13 \le 5n$ であり $n \ge \frac{13}{5} = 2.6$

$5n-3 \le 99$ より $5n \le 102$ であり $n \le \frac{102}{5} = 20.4$

したがって、$3 \le n \le 20$ である。

$S = \sum_{n=3}^{20} (5n-3) = 5 \sum_{n=3}^{20} n - 3 \sum_{n=3}^{20} 1 = 5 (\sum_{n=1}^{20} n - 1 - 2) - 3(20-3+1) = 5(\frac{20(21)}{2} - 3) - 3(18) = 5(210-3) - 54 = 5(207) - 54 = 1035 - 54 = 981$

よって、$S = 981$。したがって、3には9、4には8、5には1が入る。

(3) $c_n = a_n b_n = (5n-3) \cdot 2 \cdot 3^{n-1} = (5n-3) \cdot 2 \cdot 3^{n-1}$

$T_n = \sum_{k=1}^{n} c_k = \sum_{k=1}^{n} (5k-3) \cdot 2 \cdot 3^{k-1}$

$T_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$

$3T_n = a_1 b_1 \cdot 3 + a_2 b_2 \cdot 3 + \cdots + a_n b_n \cdot 3$

$T_n - 3T_n = a_1 b_1 + (a_2 b_2 - a_1 b_1 \cdot 3) + \cdots + (a_n b_n - a_{n-1}b_{n-1} \cdot 3) - a_n b_n \cdot 3$

$-2T_n = \sum_{k=1}^{n} a_k b_k - 3 \sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

$n \ge 2$ のとき

$T_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$ より

$T_n = (5(1)-3)(2 \cdot 3^0) + (5(2)-3)(2 \cdot 3^1) + \cdots + (5n-3)(2 \cdot 3^{n-1})$

$3T_n = (5(1)-3)(2 \cdot 3^1) + (5(2)-3)(2 \cdot 3^2) + \cdots + (5(n-1)-3)(2 \cdot 3^{n-1}) + (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$T_n - 3T_n = (5(1)-3)(2 \cdot 3^0) + ( (5(2)-3) - (5(1)-3) ) (2 \cdot 3^1) + \cdots + ( (5n-3) - (5(n-1)-3) ) (2 \cdot 3^{n-1}) - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = (5-3) \cdot 2 \cdot 1 + \sum_{k=2}^{n} (5k-3 - (5(k-1)-3)) \cdot 2 \cdot 3^{k-1} - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = 4 + \sum_{k=2}^{n} (5k-3 - 5k+5+3) \cdot 2 \cdot 3^{k-1} - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = 4 + \sum_{k=2}^{n} 5 \cdot 2 \cdot 3^{k-1} - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = 4 + 10 \sum_{k=2}^{n} 3^{k-1} - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = 4 + 10 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k} - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1)$

$-2T_n = 4 + 10 \cdot \frac{3}{2} (3^{n-1} - 1) - (5n-3)(2 \cdot 3^n)$

$-2T_n = 4 + 15 (3^{n-1} - 1) - 2(5n-3) 3^n$

$-2T_n = 4 + 15 \cdot 3^{n-1} - 15 - (10n-6) 3^n$

$-2T_n = 15 \cdot 3^{n-1} - 11 - (10n-6) 3^n$

$-2T_n = 5 \cdot 3 \cdot 3^{n-1} - 11 - 2 (5n-3) 3^n$

$-2T_n = 5 \cdot 3^n - 11 - (10n-6) 3^n = (5 - 10n+6) 3^n - 11 = (11 - 10n) 3^n - 11$

$(1-6)T_n = 7 + 8 + 9 \cdot (3+3^2+\cdots+3^{10}) = 10 \cdot 3^{11}$

$(1-(-2))T_n = 2 + (5 \cdot 3^{n-1} -11 ) = 11 + (5(n-1) -3 )(2 \cdot 3^0)$

$T_n = \frac{2}{5}(11 - 5n - 8)(3^{n-1} - 1 - 5n -8)3^n - 11 T_n$

$(1-3) T_n = (5(1)-3)(2) 3 = 25 + (1-3+4 )3 ^ 3+ +$

$T_n = \frac{(10n-11)\cdot 3^n + 11}{2}$

1-6 = -2, よって6には2が入る。

7 = (5-3)(2) = 4, 8 = 2 * 3, 9 = 5

10 =n

11 = 10

12 = n

13 = 11

14 = (4)

15 = 10

16 = n

17 = -

18 = 11

19 = n

20 = +

21 = 11

22 = 2

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 5n - 3$

1: 5, 2: 3

(2) $S = 981$

3: 9, 4: 8, 5: 1

(3) $T_n = \frac{(10n-11)3^n + 11}{2}$

6: 2, 7: 4, 8: 10, 9: 5, 10: n, 11: 10, 12: n, 13: 11, 14: 4, 15: 10, 16: n, 17: -, 18: 11, 19: n, 20: +, 21: 11, 22: 2