以下の等式を証明してください。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) $

1. 問題の内容

以下の等式を証明してください。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

a & b & c \\

a^2 & b^2 & c^2

\end{vmatrix}

= (a-b)(b-c)(c-a)

$$

2. 解き方の手順

与えられた行列式を計算します。

まず、行列式を計算しやすいように変形します。第2列から第1列を、第3列から第1列を引きます。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

a & b & c \\

a^2 & b^2 & c^2

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

a & b-a & c-a \\

a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2

\end{vmatrix}

$$

次に、行列式を展開します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 0 \\

a & b-a & c-a \\

a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2

\end{vmatrix}

=

1 \cdot \begin{vmatrix}

b-a & c-a \\

b^2-a^2 & c^2-a^2

\end{vmatrix}

$$

次に、$b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$ と $c^2 - a^2 = (c-a)(c+a)$ であることを利用して行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

b-a & c-a \\

b^2-a^2 & c^2-a^2

\end{vmatrix}

=

\begin{vmatrix}

b-a & c-a \\

(b-a)(b+a) & (c-a)(c+a)

\end{vmatrix}

$$

$(b-a)$ と $(c-a)$ をくくりだします。

$$

\begin{vmatrix}

b-a & c-a \\

(b-a)(b+a) & (c-a)(c+a)

\end{vmatrix}

= (b-a)(c-a) \begin{vmatrix}

1 & 1 \\

b+a & c+a

\end{vmatrix}

$$

行列式を計算します。

$$

(b-a)(c-a) \begin{vmatrix}

1 & 1 \\

b+a & c+a

\end{vmatrix} = (b-a)(c-a) (c+a - (b+a)) = (b-a)(c-a)(c-b)

$$

最後に、$(b-a)(c-a)(c-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$であることを示します。

$(b-a) = -(a-b)$, $(c-b) = -(b-c)$であるため、

$(b-a)(c-a)(c-b) = -(a-b)(c-a) \cdot -(b-c) = (a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

a & b & c \\

a^2 & b^2 & c^2

\end{vmatrix}

= (a-b)(b-c)(c-a)

$$

3. 最終的な答え

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 \\

a & b & c \\

a^2 & b^2 & c^2

\end{vmatrix}

= (a-b)(b-c)(c-a)

$$