実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x + y^2 - 1$ の最大値と最小値を求め、また、最大値と最小値をとるときの $x, y$ の値をそれぞれ求める。

## 問題1

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + 3y^2 = 9$ を満たすとき、$x + y^2 - 1$ の最大値と最小値を求め、また、最大値と最小値をとるときの $x, y$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、楕円の方程式 $x^2 + 3y^2 = 9$ を変形して、$x^2 = 9 - 3y^2$ とします。$x$ は実数なので、$x^2 \geq 0$ より、 $9 - 3y^2 \geq 0$ となります。これから $3y^2 \leq 9$, つまり $y^2 \leq 3$ を得ます。したがって、$-\sqrt{3} \leq y \leq \sqrt{3}$ となります。

次に、$x + y^2 - 1$ を $y$ の関数として表します。$x = \pm \sqrt{9 - 3y^2}$ なので、$f(y) = \pm \sqrt{9 - 3y^2} + y^2 - 1$ となります。

最大値と最小値を求めるために、$f'(y) = 0$ となる $y$ の値を求めます。

$f(y) = \sqrt{9 - 3y^2} + y^2 - 1$ の場合：

$f'(y) = \frac{-3y}{\sqrt{9 - 3y^2}} + 2y = 0$

$2y = \frac{3y}{\sqrt{9 - 3y^2}}$

$y = 0$ または $2 = \frac{3}{\sqrt{9 - 3y^2}}$

$2 \sqrt{9 - 3y^2} = 3$

$4(9 - 3y^2) = 9$

$36 - 12y^2 = 9$

$12y^2 = 27$

$y^2 = \frac{9}{4}$

$y = \pm \frac{3}{2}$

$f(y) = -\sqrt{9 - 3y^2} + y^2 - 1$ の場合：

$f'(y) = \frac{3y}{\sqrt{9 - 3y^2}} + 2y = 0$

$2y = -\frac{3y}{\sqrt{9 - 3y^2}}$

$y = 0$ または $2 = -\frac{3}{\sqrt{9 - 3y^2}}$

しかし、$2 = -\frac{3}{\sqrt{9 - 3y^2}}$ は解を持たない。

$y = 0$ のとき、$x = \pm 3$。$x + y^2 - 1 = \pm 3 - 1 = 2, -4$

$y = \frac{3}{2}$ のとき、$x = \pm \sqrt{9 - 3(9/4)} = \pm \sqrt{9 - 27/4} = \pm \sqrt{9/4} = \pm \frac{3}{2}$。 $x + y^2 - 1 = \pm \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 1 = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$, $-\frac{3}{2} + \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$y = -\frac{3}{2}$ のとき、$x + y^2 - 1 = \pm \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 1 = \pm \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2} + \frac{5}{4} = \frac{11}{4} = 2.75$, $-\frac{3}{2} + \frac{5}{4} = -\frac{1}{4} = -0.25$

$y = \pm \sqrt{3}$ のとき、$x = 0$。 $x + y^2 - 1 = 3 - 1 = 2$。

したがって、最大値は $\frac{11}{4}$ で、$x = \frac{3}{2}, y = \pm \frac{3}{2}$ のとき。最小値は $-4$ で、$x = -3, y = 0$ のとき。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{11}{4}$ ($x = \frac{3}{2}, y = \pm \frac{3}{2}$)

最小値: $-4$ ($x = -3, y = 0$)

## 問題2

1. 問題の内容

目の確率が異なるサイコロを3回振る。

(1) 1の目と6の目がそれぞれ1回だけ出る確率を求める。

(2) 出た目の数の積が12となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1の目が出る確率は $\frac{1}{4}$、6の目が出る確率は $\frac{1}{12}$。残りの1回は2,3,4,5のいずれかの目が出る必要がある。それぞれの確率は $\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}$。合計は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

1の目、6の目、その他の目の順序は3通りある。

したがって、確率は $3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{12} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}$。

(2) 積が12となる組み合わせは、(1,2,6), (1,3,4), (2,2,3)。

(1,2,6)の場合の確率は $3! \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{12} = 6 \times \frac{1}{288} = \frac{1}{48}$。

(1,3,4)の場合の確率は $3! \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = 6 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{24}$。

(2,2,3)の場合の確率は $\frac{3!}{2!} \times (\frac{1}{6})^2 \times \frac{1}{6} = 3 \times \frac{1}{216} = \frac{1}{72}$。

したがって、確率は $\frac{1}{48} + \frac{1}{24} + \frac{1}{72} = \frac{3 + 6 + 2}{144} = \frac{11}{144}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{24}$

(2) $\frac{11}{144}$