与えられた画像には、5つの数学の問題が含まれています。 * **問題1:** 数列 $\{a_n\}$ が $a_n = 1 + \frac{2}{n}$ で定義されているとき、 (1) $\{a_1, a_2, ...\}$ の上限と下限を求める。 (2) $\epsilon = 0.01$ のとき、$|a_n - a| < \epsilon$ を満たす適切な $n_0$ の値を求める。 * **問題2:** 次の関数の導関数を求める（ただし、Arcsin, Arctanを含まない形で答える）。 (1) $y = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$ (2) $y = \arcsin(x-1)$ * **問題3:** 次の関数の5階導関数をライプニッツの公式を用いて求める。 (1) $y = xe^x$ (2) $y = x^2\cos 2x$ * **問題4:** 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ ($|x|<1$) をマクローリン展開する。 * **問題5:** オイラーの公式を用いて次を計算する (a+bi (a, b ∈ R) の形で表す)。 (1) $e^{2\pi i}$ (2) $e^{\frac{1}{2}(1+i\pi)}$

1. 問題の内容

与えられた画像には、5つの数学の問題が含まれています。

* **問題1:** 数列 $\{a_n\}$ が $a_n = 1 + \frac{2}{n}$ で定義されているとき、

(1) $\{a_1, a_2, ...\}$ の上限と下限を求める。

(2) $\epsilon = 0.01$ のとき、$|a_n - a| < \epsilon$ を満たす適切な $n_0$ の値を求める。

* **問題2:** 次の関数の導関数を求める（ただし、Arcsin, Arctanを含まない形で答える）。

(1) $y = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$

(2) $y = \arcsin(x-1)$

* **問題3:** 次の関数の5階導関数をライプニッツの公式を用いて求める。

(1) $y = xe^x$

(2) $y = x^2\cos 2x$

* **問題4:** 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ ($|x|<1$) をマクローリン展開する。

* **問題5:** オイラーの公式を用いて次を計算する (a+bi (a, b ∈ R) の形で表す)。

(1) $e^{2\pi i}$

(2) $e^{\frac{1}{2}(1+i\pi)}$

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) 数列 $a_n = 1 + \frac{2}{n}$ について、

* $n$ が大きくなるにつれて $\frac{2}{n}$ は小さくなり、$1$ に近づくので、$a_n$ は $1$ に近づきます。

* $n = 1$ のとき、$a_1 = 1 + \frac{2}{1} = 3$ であり、これが最大の値です。

* したがって、数列 $\{a_n\}$ の上限は $3$ であり、下限は $1$ です。

(2) $\epsilon = 0.01$ とすると、 $|a_n - 1| < 0.01$ を満たす $n_0$ を求めます。

$|1 + \frac{2}{n} - 1| < 0.01$

$\frac{2}{n} < 0.01$

$n > \frac{2}{0.01} = 200$

したがって、$n_0 = 201$ が適切な値です。

**問題2**

(1) $y = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{4}} = \frac{1}{4 + x^2}$

(2) $y = \arcsin(x-1)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 2x + 1)}} = \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}}$

**問題3**

(1) $y = xe^x$

ライプニッツの公式を使う。$y = uv$ のとき、

$y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}$

$u = x$, $v = e^x$ とすると、

$u' = 1$, $u'' = 0$, $u''' = 0$, ...

$v^{(n)} = e^x$

$y^{(5)} = \binom{5}{0}xe^x + \binom{5}{1}1e^x = xe^x + 5e^x = (x+5)e^x$

(2) $y = x^2\cos 2x$

$u = x^2$, $v = \cos 2x$ とすると、

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$, ...

$v' = -2\sin 2x$, $v'' = -4\cos 2x$, $v''' = 8\sin 2x$, $v^{(4)} = 16\cos 2x$, $v^{(5)} = -32\sin 2x$

$y^{(5)} = \binom{5}{0}x^2(-32\sin 2x) + \binom{5}{1}2x(16\cos 2x) + \binom{5}{2}2(-4\cos 2x) = -32x^2\sin 2x + 160x\cos 2x - 40\cos 2x$

**問題4**

$f(x) = \frac{1}{1-x}$ は、等比数列の和の公式より、$|x| < 1$ であれば、

$f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ... = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

**問題5**

(1) $e^{2\pi i} = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 + 0i = 1$

(2) $e^{\frac{1}{2}(1+i\pi)} = e^{\frac{1}{2}} \cdot e^{\frac{i\pi}{2}} = e^{\frac{1}{2}} (\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})) = e^{\frac{1}{2}}(0 + i) = \sqrt{e}i$

3. 最終的な答え

**問題1**

(1) 上限：3、下限：1

(2) $n_0 = 201$

**問題2**

(1) $\frac{1}{4 + x^2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2x - x^2}}$

**問題3**

(1) $(x+5)e^x$

(2) $-32x^2\sin 2x + 160x\cos 2x - 40\cos 2x$

**問題4**

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

**問題5**

(1) $1$

(2) $\sqrt{e}i$