2桁の整数があり、その十の位と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数より18小さい。また、元の数と入れ替えてできる数の和は110である。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の整数があり、その十の位と一の位の数を入れ替えてできる数は、元の数より18小さい。また、元の数と入れ替えてできる数の和は110である。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とすると、元の整数は $10x + y$ と表せる。

十の位と一の位を入れ替えてできる整数は $10y + x$ と表せる。

問題文より、

$10y + x = 10x + y - 18$

$10x + y + 10y + x = 110$

この2つの式を連立方程式として解く。

まず、1つ目の式を整理する。

$10y + x = 10x + y - 18$

$9y - 9x = -18$

$y - x = -2$

$y = x - 2$

次に、2つ目の式を整理する。

$10x + y + 10y + x = 110$

$11x + 11y = 110$

$x + y = 10$

$y = x - 2$ を $x + y = 10$ に代入する。

$x + (x - 2) = 10$

$2x - 2 = 10$

$2x = 12$

$x = 6$

$y = x - 2 = 6 - 2 = 4$

したがって、元の整数は $10x + y = 10 \times 6 + 4 = 64$ である。

3. 最終的な答え

64