正の数 $a$ に対する操作 $《a》$ が定義されており、以下の性質が与えられています。 * $《a》 = 0$ となるのは $a = 1$ のときのみ * $《a》 = 1$ となるのは $a = 10$ のときのみ * $《a \times b》 = 《a》 + 《b》$ * $《\frac{1}{a}》 = -《a》$ このとき、以下の問題を解きます。 (1) $《\frac{x}{y}》$ を $《x》$ と $《y》$ を用いて表す。 (2) $《1000》$ の値を整数で答える。 (3) $《72》$ を $《2》$ と $《3》$ を用いて表す。

1. 問題の内容

正の数 $a$ に対する操作 $《a》$ が定義されており、以下の性質が与えられています。

* $《a》 = 0$ となるのは $a = 1$ のときのみ

* $《a》 = 1$ となるのは $a = 10$ のときのみ

* $《a \times b》 = 《a》 + 《b》$

* $《\frac{1}{a}》 = -《a》$

このとき、以下の問題を解きます。

(1) $《\frac{x}{y}》$ を $《x》$ と $《y》$ を用いて表す。

(2) $《1000》$ の値を整数で答える。

(3) $《72》$ を $《2》$ と $《3》$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $《\frac{x}{y}》$ の表現

$\frac{x}{y} = x \times \frac{1}{y}$ であるから、$《\frac{x}{y}》 = 《x \times \frac{1}{y}》$ となります。

性質より、$《x \times \frac{1}{y}》 = 《x》 + 《\frac{1}{y}》$ です。

また、$《\frac{1}{y}》 = -《y》$ であるから、$《\frac{x}{y}》 = 《x》 - 《y》$ となります。

(2) $《1000》$ の値

$1000 = 10^3 = 10 \times 10 \times 10$ であるから、$《1000》 = 《10 \times 10 \times 10》$ となります。

性質より、$《10 \times 10 \times 10》 = 《10》 + 《10》 + 《10》$ です。

また、$《10》 = 1$ であるから、$《1000》 = 1 + 1 + 1 = 3$ となります。

(3) $《72》$ の表現

$72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3$ であるから、$《72》 = 《2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3》$ となります。

性質より、$《2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3》 = 《2》 + 《2》 + 《2》 + 《3》 + 《3》 = 3《2》 + 2《3》$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $《\frac{x}{y}》 = 《x》 - 《y》$

(2) $《1000》 = 3$

(3) $《72》 = 3《2》 + 2《3》$