正の数 $a$ に対する操作 $《a》$ が定義されており、以下の性質が与えられています。 * $《a》 = 0$ となるのは $a = 1$ のときのみ * $《a》 = 1$ となるのは $a = 10$ のときのみ * $《a \times b》 = 《a》 + 《b》$ * $《\frac{1}{a}》 = -《a》$ このとき、以下の問題を解きます。 (1) $《\frac{x}{y}》$ を $《x》$ と $《y》$ を用いて表す。 (2) $《1000》$ の値を整数で答える。 (3) $《72》$ を $《2》$ と $《3》$ を用いて表す。

その他対数性質関数
2025/6/7

1. 問題の内容

正の数 aa に対する操作 a《a》 が定義されており、以下の性質が与えられています。
* a=0《a》 = 0 となるのは a=1a = 1 のときのみ
* a=1《a》 = 1 となるのは a=10a = 10 のときのみ
* a×b=a+b《a \times b》 = 《a》 + 《b》
* 1a=a《\frac{1}{a}》 = -《a》
このとき、以下の問題を解きます。
(1) xy《\frac{x}{y}》x《x》y《y》 を用いて表す。
(2) 1000《1000》 の値を整数で答える。
(3) 72《72》2《2》3《3》 を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) xy《\frac{x}{y}》 の表現
xy=x×1y\frac{x}{y} = x \times \frac{1}{y} であるから、xy=x×1y《\frac{x}{y}》 = 《x \times \frac{1}{y}》 となります。
性質より、x×1y=x+1y《x \times \frac{1}{y}》 = 《x》 + 《\frac{1}{y}》 です。
また、1y=y《\frac{1}{y}》 = -《y》 であるから、xy=xy《\frac{x}{y}》 = 《x》 - 《y》 となります。
(2) 1000《1000》 の値
1000=103=10×10×101000 = 10^3 = 10 \times 10 \times 10 であるから、1000=10×10×10《1000》 = 《10 \times 10 \times 10》 となります。
性質より、10×10×10=10+10+10《10 \times 10 \times 10》 = 《10》 + 《10》 + 《10》 です。
また、10=1《10》 = 1 であるから、1000=1+1+1=3《1000》 = 1 + 1 + 1 = 3 となります。
(3) 72《72》 の表現
72=8×9=23×32=2×2×2×3×372 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 であるから、72=2×2×2×3×3《72》 = 《2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3》 となります。
性質より、2×2×2×3×3=2+2+2+3+3=32+23《2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3》 = 《2》 + 《2》 + 《2》 + 《3》 + 《3》 = 3《2》 + 2《3》 となります。

3. 最終的な答え

(1) xy=xy《\frac{x}{y}》 = 《x》 - 《y》
(2) 1000=3《1000》 = 3
(3) 72=32+23《72》 = 3《2》 + 2《3》

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