$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^3 + y^3 = 1$ を満たす $x$, $y$ に対して、$x+y$ がとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^3 + y^3 = 1$ を満たす $x$, $y$ に対して、$x+y$ がとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$x+y = s$ とおく。$y = s - x$ であるから、$x^3 + (s-x)^3 = 1$ が成り立つ。

$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ より、$x \ge 0$ かつ $s - x \ge 0$ なので、$0 \le x \le s$。

$x^3 + (s-x)^3 = 1$ を展開すると、

$x^3 + s^3 - 3s^2 x + 3s x^2 - x^3 = 1$

$3sx^2 - 3s^2x + s^3 - 1 = 0$

この $x$ についての2次方程式が $0 \le x \le s$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つための $s$ の範囲を求める。

まず、$s=0$ のとき、$x+y = 0$ となるが、$x^3+y^3 = 1$ かつ $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たすことはないので、$s \ne 0$ である。

次に、$s=1$ のとき、$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^2 -xy +y^2=1$ より、$x^3 + (1-x)^3 = 1$ であり、$3x^2 - 3x = 0$ となるので、$x(x-1)=0$, $x = 0, 1$. よって、$x=0$ のとき $y = 1$, $x = 1$ のとき $y = 0$ で、$0 \le x \le 1$ を満たすので、$s=1$ は条件を満たす。

また、$s > 0$ で、$3sx^2 - 3s^2x + s^3 - 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = (3s^2)^2 - 4(3s)(s^3-1) = 9s^4 - 12s^4 + 12s = -3s^4 + 12s = 3s(4 - s^3)$

$D \ge 0$ となるためには、$3s(4-s^3) \ge 0$ が必要なので、$s(4-s^3) \ge 0$。

$s > 0$ より、$4-s^3 \ge 0$ で、$s^3 \le 4$ なので、$s \le \sqrt[3]{4}$。

$f(x) = 3sx^2 - 3s^2x + s^3 - 1$ とおくと、軸は $x = \frac{3s^2}{6s} = \frac{s}{2}$ である。

$f(0) = s^3 - 1$，$f(s) = 3s^3 - 3s^3 + s^3 - 1 = s^3 - 1$

(i) $s^3 - 1 = 0$, つまり $s=1$ のとき、$f(x) = 3x^2 - 3x = 3x(x-1) = 0$。よって、$x = 0, 1$ は $0 \le x \le 1$ を満たす。

(ii) $s^3 - 1 > 0$, つまり $s > 1$ のとき、$f(0) > 0$ かつ $f(s) > 0$ で、$0 \le x \le s$ に解を持つには、頂点の $y$ 座標が負であればよい。つまり、$D \ge 0$ であればよい。

よって、$1 < s \le \sqrt[3]{4}$。

(iii) $s^3 - 1 < 0$, つまり $0 < s < 1$ のとき、$f(0) < 0$ かつ $f(s) < 0$。$f(0) < 0$ より、$x=0$ 付近に解が存在するので、常に $0 < s < 1$ は条件を満たす。

まとめると、$1 \le s \le \sqrt[3]{4}$.

3. 最終的な答え

$1 \le x+y \le \sqrt[3]{4}$