500人を対象に商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを購入した人は256人、商品Bを購入した人は243人、商品Cを購入した人は208人。3種類全てを購入した人は25人。3種類のどれも購入しなかった人は18人である。このとき、2種類以上の商品を購入した人の数を求める。

1. 問題の内容

500人を対象に商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを購入した人は256人、商品Bを購入した人は243人、商品Cを購入した人は208人。3種類全てを購入した人は25人。3種類のどれも購入しなかった人は18人である。このとき、2種類以上の商品を購入した人の数を求める。

2. 解き方の手順

まず、少なくとも1つの商品を購入した人の数を求める。これは、全体の人数から、どの商品も購入しなかった人の数を引くことで求められる。

$500 - 18 = 482$

次に、商品A, B, Cのいずれかを購入した人の数の合計を求める。

$256 + 243 + 208 = 707$

この合計には、2つの商品を購入した人と、3つの商品を購入した人が重複して数えられている。

A, B, Cのうちのいずれか一つを買った人の数を $N(A \cup B \cup C)$ とすると、包除原理より

$N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A \cap B) - N(A \cap C) - N(B \cap C) + N(A \cap B \cap C)$

ここで、$N(A \cup B \cup C)$ は少なくとも一つの商品を買った人の数であり、482である。

$N(A), N(B), N(C)$ はそれぞれ商品A, B, Cを買った人数なので、256, 243, 208である。

$N(A \cap B \cap C)$ は全ての商品を買った人数なので、25である。

2種類以上の商品を購入した人の数を $x$ とすると、求めるのは $x = N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C) - 2N(A \cap B \cap C)$である。

上記包除原理の式を移項すると、$N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C) = N(A) + N(B) + N(C) + N(A \cap B \cap C) - N(A \cup B \cup C)$

$N(A \cap B) + N(A \cap C) + N(B \cap C) = 256 + 243 + 208 + 25 - 482 = 250$

したがって、$x = 250 - 2 \times 25 = 250 - 50 = 200$

2種類以上の商品を購入した人の数を求める。

少なくとも1つの商品を購入した人の数482は、Aのみを購入した人、Bのみを購入した人、Cのみを購入した人、AとBのみを購入した人、AとCのみを購入した人、BとCのみを購入した人、A, B, C全てを購入した人の合計である。

A, B, C全てを購入した人は25人である。

Aのみ、Bのみ、Cのみを購入した人の数をそれぞれa, b, cとすると、

a + b + c + (AとBのみ) + (AとCのみ) + (BとCのみ) + 25 = 482

a + (AとBのみ) + (AとCのみ) + 25 = 256

b + (AとBのみ) + (BとCのみ) + 25 = 243

c + (AとCのみ) + (BとCのみ) + 25 = 208

a + b + c + (AとBのみ) + (AとCのみ) + (BとCのみ) = 457

(AとBのみ) + (AとCのみ) + (BとCのみ) = x - 3*25 = x - 75

a = 256 - 25 - (AとBのみ) - (AとCのみ) = 231 - (AとBのみ) - (AとCのみ)

b = 243 - 25 - (AとBのみ) - (BとCのみ) = 218 - (AとBのみ) - (BとCのみ)

c = 208 - 25 - (AとCのみ) - (BとCのみ) = 183 - (AとCのみ) - (BとCのみ)

a+b+c = 632 - 2*(AとBのみ) - 2*(AとCのみ) - 2*(BとCのみ) = 632 - 2*(x-3*25) = 632 - 2*x + 150 = 782 - 2x

a+b+c + (AとBのみ) + (AとCのみ) + (BとCのみ) = 782 - 2x + x - 75 = 707 - x = 457

x = 707 - 457 = 250 - 50 = 250

2種類以上の商品を買った人数は　250-2*25 = 200

2種類以上の商品を買った人数 = $N(A \cap B) + N(B \cap C) + N(A \cap C) - 2N(A \cap B \cap C)$

$N(A \cup B \cup C) = N(A) + N(B) + N(C) - (N(A \cap B) + N(B \cap C) + N(A \cap C)) + N(A \cap B \cap C)$

$N(A \cap B) + N(B \cap C) + N(A \cap C) = N(A) + N(B) + N(C) + N(A \cap B \cap C) - N(A \cup B \cup C) = 256 + 243 + 208 + 25 - (500 - 18) = 732 - 482 = 250$

2種類以上の商品を買った人数 = 250 - 2*25 = 200

3. 最終的な答え

200人