与えられた式 $(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの二乗を展開します。

$(ac+bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$

$(ad+bc)^2 = (ad)^2 + 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$(ac+bd)^2 - (ad+bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$

括弧を外し、同類項をまとめます。

$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2abcd - b^2c^2 = a^2c^2 + b^2d^2 - a^2d^2 - b^2c^2$

項の順序を入れ替えます。

$a^2c^2 - a^2d^2 + b^2d^2 - b^2c^2$

$a^2$ と $b^2$ でそれぞれくくります。

$a^2(c^2 - d^2) - b^2(c^2 - d^2) = a^2(c^2-d^2)-b^2(c^2-d^2)$

$(c^2-d^2)$ でくくると、

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$

さらに因数分解すると、

$(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)$

または、

$(a^2-b^2)(c^2-d^2)$