7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。 (1) 3桁の整数は何個作れるか。 (2) 3の倍数は何個作れるか。 (3) 9の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を選んで3桁の整数を作る。

(1) 3桁の整数は何個作れるか。

(2) 3の倍数は何個作れるか。

(3) 9の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数

百の位には0以外の6個の数字のいずれかを選ぶことができる。

十の位には、百の位で選んだ数字以外の6個の数字のいずれかを選ぶことができる。

一の位には、百の位と十の位で選んだ数字以外の5個の数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、3桁の整数の総数は $6 \times 6 \times 5 = 180$ 個である。

(2) 3の倍数

3の倍数になるためには、3つの数字の和が3の倍数になる必要がある。

0から6までの数字を3で割った余りで分類する。

余り0：0, 3, 6

余り1：1, 4

余り2：2, 5

3つの数の和が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

(i) 余りがすべて0：(0, 3, 6) -> 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(ii) 余りがすべて1：(1, 4) -> これは3つの数を選べない。

(iii) 余りがすべて2：(2, 5) -> これは3つの数を選べない。

(iv) 余りが0, 1, 2から1つずつ：(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 4, 2), (0, 4, 5), (3, 1, 2), (3, 1, 5), (3, 4, 2), (3, 4, 5), (6, 1, 2), (6, 1, 5), (6, 4, 2), (6, 4, 5) -> 12通り x 3! = 12 x 6 = 72

(v) (0, 1, 2)の時、3! - 2! = 4

(vi) 上記をすべて計算すると、

(0, 3, 6)から3桁の整数を作る組み合わせは、3! - 2! = 4個

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 4, 5), (1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 5, 6), (2, 3, 4), (2, 4, 6), (3, 4, 5), (4, 5, 6)

これらのうち0を含むものは先頭に0が来ないように考慮すると、

(0, 1, 2) -> 3! - 2! = 4

(0, 1, 5) -> 3! - 2! = 4

(0, 2, 4) -> 3! - 2! = 4

(0, 4, 5) -> 3! - 2! = 4

0を含まないものは、

(1, 2, 3) -> 3! = 6

(1, 2, 6) -> 3! = 6

(1, 3, 5) -> 3! = 6

(1, 5, 6) -> 3! = 6

(2, 3, 4) -> 3! = 6

(2, 4, 6) -> 3! = 6

(3, 4, 5) -> 3! = 6

(4, 5, 6) -> 3! = 6

合計は、4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 68個

(4 + 72 = 76)

(3) 9の倍数

3つの数字の和が9の倍数になる必要がある。

組み合わせは以下の通り。

(0, 3, 6)

(1, 2, 6)

(1, 3, 5)

(2, 4, 3)

(2, 4, 6)

(3, 4, 2)

(3, 5, 1)

(3, 6, 0)

(4, 2, 3)

(4, 5, 6)

(5, 1, 3)

(5, 4, 6)

(6, 0, 3)

(6, 1, 2)

(6, 4, 5)

これらの数字の和はすべて9である。

0を含む組み合わせは、(0, 3, 6)で3! - 2! = 4個

0を含まない組み合わせは、(1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 4, 3), (4, 5, 6)で3! = 6個

したがって、合計は4 + 6 + 6 + 6 + 6 = 28個

3. 最終的な答え

(1) 180個

(2) 68個

(3) 28個