x, yが実数であるとき、次の文中の空欄に当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。 (1) $xy = 0$ は、$x = 0$ であるための（7） (2) $|x| + |y| = 0$ は、$|x + y| = 0$ であるための（8） (3) $|x| \le 1$ は、$|x - 1| \le 1$ であるための（9） (4) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ は、$x = y = 1$ であるための（10） 選択肢： (1) 必要十分条件である (2) 必要条件であるが、十分条件ではない (3) 十分条件であるが、必要条件ではない (4) 必要条件でも十分条件でもない

1. 問題の内容

x, yが実数であるとき、次の文中の空欄に当てはまるものを選択肢から選ぶ問題です。

(1) $xy = 0$ は、$x = 0$ であるための（7）

(2) $|x| + |y| = 0$ は、$|x + y| = 0$ であるための（8）

(3) $|x| \le 1$ は、$|x - 1| \le 1$ であるための（9）

(4) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ は、$x = y = 1$ であるための（10）

選択肢：

(1) 必要十分条件である

(2) 必要条件であるが、十分条件ではない

(3) 十分条件であるが、必要条件ではない

(4) 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $xy = 0$ は、$x = 0$ であるための（7）

$xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ です。

したがって、$xy = 0$ は $x = 0$ であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

なぜなら、$x=0$だけではなく、$y=0$の可能性もあるからです。

(2) $|x| + |y| = 0$ は、$|x + y| = 0$ であるための（8）

$|x| + |y| = 0$ ならば、$x = 0$ かつ $y = 0$ である必要があります。

したがって、$x + y = 0$ となり、$|x + y| = 0$ が成立します。

逆に、$|x + y| = 0$ ならば、$x + y = 0$ ですが、$|x| + |y| = 0$ とは限りません。例えば、$x = 1, y = -1$ のとき、$|1 + (-1)| = 0$ ですが、$|1| + |-1| = 2 \ne 0$ となります。

よって、$|x| + |y| = 0$ は $|x + y| = 0$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(3) $|x| \le 1$ は、$|x - 1| \le 1$ であるための（9）

$|x| \le 1$ は $-1 \le x \le 1$ を意味します。

$|x - 1| \le 1$ は $-1 \le x - 1 \le 1$ 、つまり $0 \le x \le 2$ を意味します。

$-1 \le x \le 1$ ならば $0 \le x \le 2$ が成り立ちます。

しかし、$0 \le x \le 2$ でも $-1 \le x \le 1$ が成り立つとは限りません。例えば、$x = 1.5$ は $0 \le x \le 2$ を満たしますが、$-1 \le x \le 1$ を満たしません。

よって、$|x| \le 1$ は $|x - 1| \le 1$ であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

(4) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ は、$x = y = 1$ であるための（10）

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ ならば、$x - 1 = 0$ かつ $y - 1 = 0$ である必要があります。

したがって、$x = 1$ かつ $y = 1$ 、つまり $x = y = 1$ が成り立ちます。

逆に、$x = y = 1$ ならば、$(1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$ が成り立ちます。

よって、$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$ は $x = y = 1$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(7) (2)

(8) (3)

(9) (3)

(10) (1)