$m$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$ の区間 $3-2m \le x \le 3+m$ における最大値を $G$ とする。 (1) $f(3-2m) = f(3+m)$ となるような $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ を正の定数とする。関数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$ の区間 $3-2m \le x \le 3+m$ における最大値を $G$ とする。

(1) $f(3-2m) = f(3+m)$ となるような $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 6 = (x-2)^2 + 2$

これは、軸が $x=2$ の下に凸な放物線である。

$f(3-2m) = f(3+m)$ となる条件を考える。

放物線は軸に関して対称であるから、$3-2m$ と $3+m$ が軸 $x=2$ に関して対称であれば、$f(3-2m) = f(3+m)$ が成り立つ。

$3-2m$ と $3+m$ の中点が $2$ となる条件は、

$\frac{(3-2m) + (3+m)}{2} = 2$

$6-m = 4$

$m = 2$

$m$ は正の定数であるから、$m=2$ は条件を満たす。

あるいは、$f(3-2m) = f(3+m)$ を直接計算しても良い。

$f(3-2m) = (3-2m)^2 - 4(3-2m) + 6 = 9 - 12m + 4m^2 - 12 + 8m + 6 = 4m^2 - 4m + 3$

$f(3+m) = (3+m)^2 - 4(3+m) + 6 = 9 + 6m + m^2 - 12 - 4m + 6 = m^2 + 2m + 3$

したがって、$4m^2 - 4m + 3 = m^2 + 2m + 3$

$3m^2 - 6m = 0$

$3m(m-2) = 0$

$m = 0, 2$

$m$ は正の定数であるから、$m=2$

3. 最終的な答え

$m=2$