ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表された式 $\frac{1}{2}(2\vec{a} - \vec{b}) + \frac{1}{3}(\vec{a} - 2\vec{b})$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表された式 $\frac{1}{2}(2\vec{a} - \vec{b}) + \frac{1}{3}(\vec{a} - 2\vec{b})$ を計算し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの括弧を展開します。

$\frac{1}{2}(2\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2} \cdot 2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

$\frac{1}{3}(\vec{a} - 2\vec{b}) = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{3} \cdot 2\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$

次に、展開した式を足し合わせます。

$\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b} = (\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{a}) + (-\frac{1}{2}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{b})$

$\vec{a}$ の係数と $\vec{b}$ の係数をそれぞれ計算します。

$\vec{a}$ の係数: $1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$\vec{b}$ の係数: $-\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = -\frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{7}{6}$

したがって、

$(\frac{4}{3})\vec{a} + (-\frac{7}{6})\vec{b} = \frac{4}{3}\vec{a} - \frac{7}{6}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{7}{6}\vec{b}$