(1) $10 + 2\sqrt{21}$ の整数部分と小数部分を求める。 (2) $\sqrt{3} + \sqrt{7}$ の整数部分を求める。 (3) $\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ の整数部分を求める。

1. 問題の内容

(1) $10 + 2\sqrt{21}$ の整数部分と小数部分を求める。

(2) $\sqrt{3} + \sqrt{7}$ の整数部分を求める。

(3) $\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ の整数部分を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2\sqrt{21} = \sqrt{84}$ であり、$81 < 84 < 100$ より $9 < \sqrt{84} < 10$ である。

したがって、$9 < 2\sqrt{21} < 10$。

$10 + 2\sqrt{21}$ は $2\sqrt{21}$ より 10 だけ大きいから、$10 + 9 < 10 + 2\sqrt{21} < 10 + 10$。

よって、$19 < 10 + 2\sqrt{21} < 20$。

したがって、整数部分は 19 であり、小数部分は $(10 + 2\sqrt{21}) - 19 = 2\sqrt{21} - 9$ である。

(2)

$1 < \sqrt{3} < 2$ かつ $2 < \sqrt{7} < 3$ より、$3 < \sqrt{3} + \sqrt{7} < 5$。

$(\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7 = 10 + 2\sqrt{21}$。

(1) より、$19 < 10 + 2\sqrt{21} < 20$ であるから、$19 < (\sqrt{3} + \sqrt{7})^2 < 20$。

よって、$4 < \sqrt{19} < \sqrt{10 + 2\sqrt{21}} = \sqrt{3} + \sqrt{7} < \sqrt{20} < 5$。

$\sqrt{16} < \sqrt{19} < \sqrt{25}$だから$4<\sqrt{19}<5$。

したがって、$\sqrt{3} + \sqrt{7}$ の整数部分は 4 である。

(3)

$\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{(1+\sqrt{3}-\sqrt{7}) + (1+\sqrt{3}+\sqrt{7})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{7})(1+\sqrt{3}-\sqrt{7})} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 7} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{-3 + 2\sqrt{3}} = \frac{2(1+\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})}{(-3+2\sqrt{3})(-3-2\sqrt{3})} = \frac{2(-3 - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 6)}{9 - 12} = \frac{2(-9 - 5\sqrt{3})}{-3} = \frac{18 + 10\sqrt{3}}{3} = 6 + \frac{10}{3}\sqrt{3}$。

$\frac{10}{3}\sqrt{3} = \frac{10}{3}\sqrt{3} = \frac{\sqrt{300}}{3}$

$17^2 = 289 < 300 < 324 = 18^2$, so $17<\sqrt{300} < 18$.

Then $17/3 < \frac{\sqrt{300}}{3} < 18/3$.

So $17/3 = 5.66...< \frac{10}{3}\sqrt{3} < 6$.

Then $6+5.66 < 6+\frac{10}{3}\sqrt{3} < 6+6$

$11.66 < \frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{7}} + \frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{7}} < 12$。

したがって、整数部分は 11 である。

3. 最終的な答え

(1) アイ: 19, ウ: 9

(2) エオ: 19, 力: 4

(3) キク: 18, ケコ: 10, サ: 3, シス: 11