$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$ と $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ が与えられたとき、以下の値を計算する問題です。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2 + y^2$ (4) $x^3y + xy^3$ (5) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (6) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2}$ と $y = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2}$ が与えられたとき、以下の値を計算する問題です。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2 + y^2$

(4) $x^3y + xy^3$

(5) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(6) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の値を簡単にすることから始めます。

(1) $x+y$

$x+y = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

(2) $xy$

$xy = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{11}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{11}}{2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{11})^2}{4} = \frac{5 - 11}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2 + y^2$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{5})^2 - 2(-\frac{3}{2}) = 5 + 3 = 8$

(4) $x^3y + xy^3$

$x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = (-\frac{3}{2})(8) = -12$

(5) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x+y}{xy} = \frac{\sqrt{5}}{-\frac{3}{2}} = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$

(6) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{8}{-\frac{3}{2}} = -\frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{5}$

(2) $xy = -\frac{3}{2}$

(3) $x^2 + y^2 = 8$

(4) $x^3y + xy^3 = -12$

(5) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{2\sqrt{5}}{3}$

(6) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = -\frac{16}{3}$