次の4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$) (2) $y = x^{e^x}$ ($x > 0$) (3) $y = x^{\log x}$ ($x > 0$) (4) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

1. 問題の内容

次の4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)

(2) $y = x^{e^x}$ ($x > 0$)

(3) $y = x^{\log x}$ ($x > 0$)

(4) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

2. 解き方の手順

これらの関数はすべて $y = f(x)^{g(x)}$ の形をしているため、両辺の対数をとり、対数微分法を用いるのが基本的な解き方です。

以下、各関数の微分を計算します。

対数は自然対数（底が $e$）とします。

(1) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)

両辺の対数をとると、

$\log y = \sin x \cdot \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $y = x^{e^x}$ ($x > 0$)

両辺の対数をとると、

$\log y = e^x \cdot \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \cdot \log x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( e^x \log x + \frac{e^x}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right)$

(3) $y = x^{\log x}$ ($x > 0$)

両辺の対数をとると、

$\log y = \log x \cdot \log x = (\log x)^2$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{2 \log x}{x}$

$\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $y = (\log x)^x$ ($x > 1$)

両辺の対数をとると、

$\log y = x \cdot \log(\log x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \left( \cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x \left( \log x + \frac{1}{x} \right)$

(3) $\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$