関数 $y = 2x - \sqrt{1 - x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x - \sqrt{1 - x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. **定義域の確認:** 根号の中身が0以上である必要があるため、$1 - x^2 \geq 0$ を満たす必要があります。これは $-1 \leq x \leq 1$ を意味します。

2. **微分:** 与えられた関数を $x$ で微分します。

$y' = 2 - \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = 2 + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

3. **極値を求める:** $y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$2 + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = -2$

$x = -2\sqrt{1-x^2}$

両辺を2乗すると、

$x^2 = 4(1-x^2)$

$x^2 = 4 - 4x^2$

$5x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{5}$

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

$x = -2\sqrt{1-x^2}$より、$x$は負である必要があるため、$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$

4. **増減表:**

定義域は $-1 \leq x \leq 1$ であり、極値は $x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ であるため、増減表を作成します。

| x | -1 | ... | $-\frac{2}{\sqrt{5}}$ | ... | 1 |

| :---- | :-- | :---------------------------------- | :-------------------- | :-- | :-- |

| y' | | - | 0 | + | |

| y | -2 | 減少 | 極小値 | 増加 | 2 |

$x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$のとき、$y = 2(-\frac{2}{\sqrt{5}}) - \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}} - \sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{4}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{5}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}$

5. **最大値と最小値:**

増減表より、

- $x = 1$ のとき、$y = 2(1) - \sqrt{1 - 1^2} = 2$

- $x = -1$ のとき、$y = 2(-1) - \sqrt{1 - (-1)^2} = -2$

- $x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき、$y = -\sqrt{5}$

したがって、最大値は $2$ ($x = 1$ のとき)、最小値は $-\sqrt{5}$ ($x = -\frac{2}{\sqrt{5}}$ のとき)となります。

3. 最終的な答え

最大値：$2$

最小値：$-\sqrt{5}$