A, B, C, D, E, Fの6文字を全て使ってできる順列を辞書式順に並べたとき、以下の2つの問いに答える。 (1) 140番目の文字列を求める。 (2) FBCDAEは何番目の文字列か求める。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, Fの6文字を全て使ってできる順列を辞書式順に並べたとき、以下の2つの問いに答える。

(1) 140番目の文字列を求める。

(2) FBCDAEは何番目の文字列か求める。

2. 解き方の手順

(1) 140番目の文字列を求める。

6つの文字の順列の総数は $6! = 720$ である。

辞書式順に並べるので、最初の文字を固定して考える。

- Aで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個である。

- Bで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個である。

140番目はAで始まる文字列の次に来るので、Aで始まる120個の文字列の後にBで始まる文字列が来る。

$140 - 120 = 20$ より、Bで始まる文字列の中で20番目の文字列を求めればよい。

- BAで始まる文字列の数は $4! = 24$ 個である。

20番目はBAで始まる文字列の中に含まれる。

BAの次にC,D,E,Fの順に並べていく。

- BACで始まる文字列の数は $3! = 6$ 個である。

- BADで始まる文字列の数は $3! = 6$ 個である。

- BAEで始まる文字列の数は $3! = 6$ 個である。

$6 + 6 + 6 = 18$ より、BAEで始まる文字列の最後は18番目である。

よって、20番目はBAFで始まる文字列である。

$20 - 18 = 2$ より、BAFで始まる文字列の中で2番目の文字列を求めればよい。

BAFの次にC,D,Eの順に並べていく。

- BAFCD Eは1番目

- BAFCE Dは2番目

よって、140番目の文字列はBAFCEDである。

(2) FBCDAEが何番目の文字列か求める。

まず、A,B,C,D,E,F の順に並んでいる文字列から数えていく。

- Aで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

- Bで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

- Cで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

- Dで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

- Eで始まる文字列の数は $5! = 120$ 個

Fで始まる文字列は$5! = 120$個ある。

AからEで始まる文字列は $120 \times 5 = 600$ 個ある。

Fで始まる文字列の中でFBCDAEは何番目かを考える。

- FAで始まる文字列の数は $4! = 24$ 個

- FBで始まる文字列の数は $4! = 24$ 個

FBで始まる文字列をさらに絞っていく

- FBAで始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

- FBCで始まる文字列の数は $3! = 6$ 個

FBCDAE は FBCで始まる文字列に含まれる。

- FBCADE 1番目

- FBCDAE 2番目

FAとFBAの文字列数を足し合わせると$24+6=30$

FA,FBとFBCADEの文字列数を足し合わせると$24+2=26$

FBCDAEが何番目か。

- FAで始まる文字列: $4! = 24$

- FBで始まる文字列: $4! = 24$

FBCDAE

- FBAで始まる文字列: $3! = 6$

- FBCADE 1番目

- FBCDAE 2番目

Aで始まるものからFBADEまでを合計する。

$5 \times 120 + 0\times 24 + 1 \times 24+ 0 \times 6 + 2 = 600 + 24 + 2=626$

$600+0\times 24 +0\times 6$ではないのか?

FAで始まるものが24個。

FBで始まるものが24個。

FBCで始まるものを考えていく。

- FBCADE (1番目)

- FBCDAE (2番目)

なので、$600+24+0+0+2+1$

627番目。

- FBCADE (1)

- FBCDAE (2)

$600+24\times 0+24 + 6 \times 0+1 = 600+24 +0 +1$

627

(2) FBCDAEは何番目の文字列か。

- Aで始まる文字列: $5! = 120$個

- Bで始まる文字列: $5! = 120$個

- Cで始まる文字列: $5! = 120$個

- Dで始まる文字列: $5! = 120$個

- Eで始まる文字列: $5! = 120$個

これら合計で $120 \times 5 = 600$個

- FAで始まる文字列: $4! = 24$個

- FBで始まる文字列: $4! = 24$個

- FBCADE

- FBCDAE

2番目

$600+24+0$

FBCDAE $= 600+24+0+1*2= 625$

3. 最終的な答え

(1) 140番目の文字列: BAFCED

(2) FBCDAEは何番目の文字列か: 626番目