次の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $8ac + 10ad - 12bc - 15bd$ (2) $ax^2 - ay^2 + abx + aby$ (3) $a^2 - b^2 - 4c^2 + 4bc$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $8ac + 10ad - 12bc - 15bd$

(2) $ax^2 - ay^2 + abx + aby$

(3) $a^2 - b^2 - 4c^2 + 4bc$

2. 解き方の手順

(1)

項を並べ替えて、共通因数でくくります。

$8ac + 10ad - 12bc - 15bd = (8ac + 10ad) + (-12bc - 15bd)$

$= 2a(4c + 5d) - 3b(4c + 5d)$

共通因数 $(4c + 5d)$ でくくると、

$(2a - 3b)(4c + 5d)$

(2)

項を並べ替えて、共通因数でくくります。

$ax^2 - ay^2 + abx + aby = a(x^2 - y^2) + ab(x + y)$

$= a(x + y)(x - y) + ab(x + y)$

共通因数 $a(x + y)$ でくくると、

$a(x + y)(x - y + b)$

(3)

後ろの3つの項を $-1$ でくくり、平方完成を目指します。

$a^2 - b^2 - 4c^2 + 4bc = a^2 - (b^2 - 4bc + 4c^2)$

$= a^2 - (b - 2c)^2$

和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用すると、

$\{a + (b - 2c)\}\{a - (b - 2c)\} = (a + b - 2c)(a - b + 2c)$

3. 最終的な答え

(1) $(2a - 3b)(4c + 5d)$

(2) $a(x + y)(x - y + b)$

(3) $(a + b - 2c)(a - b + 2c)$