与えられた式を展開し、整理して簡単にすることを求められています。式は次の通りです。 $(a^2b + ab^2)(a-b) + (a^2c - ac^2)(a-c) + (b^2c + bc^2)(b-c)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開し、整理して簡単にすることを求められています。式は次の通りです。

$(a^2b + ab^2)(a-b) + (a^2c - ac^2)(a-c) + (b^2c + bc^2)(b-c)$

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

第一項：

$(a^2b + ab^2)(a-b) = a^3b - a^2b^2 + a^2b^2 - ab^3 = a^3b - ab^3$

第二項：

$(a^2c - ac^2)(a-c) = a^3c - a^2c^2 - a^2c^2 + ac^3 = a^3c - 2a^2c^2 + ac^3$

第三項：

$(b^2c + bc^2)(b-c) = b^3c - b^2c^2 + b^2c^2 - bc^3 = b^3c - bc^3$

次に、これらの項をすべて足し合わせます。

$a^3b - ab^3 + a^3c - 2a^2c^2 + ac^3 + b^3c - bc^3$

この式をさらに整理するために、因数分解を試みます。まず、$a^3$を含む項をまとめると、$a^3b + a^3c = a^3(b+c)$ となります。しかし、式全体をきれいに因数分解するのは難しいようです。

与えられた式を少し変形することを試みます。$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2) = ab(a+b)(a-b)$のように変形できる項があることに気づきます。しかし、この式全体を因数分解するのは難しいです。

3. 最終的な答え

展開して整理した結果、以下の式が得られます。

$a^3b - ab^3 + a^3c - 2a^2c^2 + ac^3 + b^3c - bc^3$

または

$a^3b + a^3c + b^3c - ab^3 + ac^3 - bc^3 - 2a^2c^2$

これ以上簡単にすることは難しいです。

$a^3(b+c) + b^3c - ab^3 + ac^3 - bc^3 - 2a^2c^2$