$\sqrt{3}$が有理数でないことを背理法を用いて証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。$\sqrt{3} = \frac{q}{p}$とおき、$p$と$q$は互いに素な正の整数とします。このとき、$3p^2 = q^2$が成り立ちます。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$が有理数でないことを背理法を用いて証明する問題です。空欄を埋めて証明を完成させます。$\sqrt{3} = \frac{q}{p}$とおき、$p$と$q$は互いに素な正の整数とします。このとき、$3p^2 = q^2$が成り立ちます。

2. 解き方の手順

(1) $3p^2 = q^2$より、$q^2$は3の倍数である。したがって、$q$も3の倍数である。そこで、$q=3s+t$とおく。ただし、$s$は0以上の整数、$t$は0以上3未満の整数である。

(2) $q^2 = (3s+t)^2 = 9s^2 + 6st + t^2$となる。

(3) $q^2$が3の倍数であるためには、$0 \le t < 3$なので、$t$の取りうる値は0, 1, 2である。$q^2=9s^2+6st+t^2$は3の倍数なので、$t^2$も3の倍数でなければならない。$t$は0以上3未満の整数なので、$t=0$のみが条件を満たす。

(4) $t=0$であるから、$q = 3s$となる。これを$3p^2 = q^2$に代入すると、$3p^2 = (3s)^2 = 9s^2$となる。したがって、$p^2 = 3s^2$となる。

(5) $p^2 = 3s^2$より、$p^2$は3の倍数である。したがって、$p$も3の倍数となる。

(6) $p$と$q$はどちらも3の倍数であるため、p,qが互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、$\sqrt{3}$は有理数ではない。

画像内の空欄を埋める：

- q^2は [3] の倍数である。

- q = [3]s+tとおく。

- tは [3] 未満0以上の整数である。

- q^2 = [9]s^2 + [6]st+t^2

- q^2が [3] の倍数であるためには、0≤t< [3] なので、

- t= [0] でなければならない。このことから、q= [3]s......②

- となり、②を①に代入すればp^2 = [3]s^2。すると、上と同様にしてpは [3] の倍数となる。

3. 最終的な答え

- 2 -> 3

- 2 -> 3

- 2 -> 3

- 3 -> 9

- 4 -> 6

- 2 -> 3

- 2 -> 3

- 5 -> 0

- 6 -> 3

- 2 -> 3

- 2 -> 3

したがって、空欄を埋めた解答は以下の通りです。

$\sqrt{3}$が有理数であれば、$\sqrt{3} = \frac{q}{p}$（$p, q$は最大公約数が1である正の整数）で表される。

両辺をそれぞれ2乗すれば、$3 = \frac{q^2}{p^2}$、よって、$3p^2 = q^2$ …①

すなわち、$q^2$は 3 の倍数である。ここで、$q = 3s + t$ とおく。

ただし、$s$は0以上の整数、$t$は 3 未満0以上の整数である。

このとき、$q^2 = 9s^2 + 6st + t^2$

したがって、$q^2$が 3 の倍数であるためには、$0 \le t < 3$ なので、

$t = 0$ でなければならない。このことから、$q = 3s$ …②

となり、②を①に代入すれば $p^2 = 3s^2$。すると、上と同様にして $p$ は 3 の倍数となる。これは$p, q$ の条件に矛盾するため、$\sqrt{3}$は有理数ではない。