この問題は、3桁の自然数における興味深い性質について話し合う裕太さんと千秋さんの会話をもとに、いくつかの問いに答えるものです。 (1) 会話中の空欄ア～エに当てはまる数を求めます。 (2) 下線部の内容が成り立つことを説明します。 (3) 4桁の自然数で同様の操作をしたとき、カプレカ数が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその数を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、3桁の自然数における興味深い性質について話し合う裕太さんと千秋さんの会話をもとに、いくつかの問いに答えるものです。

(1) 会話中の空欄ア～エに当てはまる数を求めます。

(2) 下線部の内容が成り立つことを説明します。

(3) 4桁の自然数で同様の操作をしたとき、カプレカ数が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ア～エにあてはまる数を求める。

まず、314から始めて、各位の数字を並べ替えてできる最大の数と最小の数の差を計算します。

最大: 431, 最小: 134, 差: 431 - 134 = 297。よって、問題文に記載の通り297になります。

次に、297から同様の計算を繰り返します。

最大: 972, 最小: 279, 差: 972 - 279 = 693 (ア)。

最大: 963, 最小: 369, 差: 963 - 369 = 594 (イ)。

最大: 954, 最小: 459, 差: 954 - 459 = 495 (ウ)。

最大: 954, 最小: 459, 差: 954 - 459 = 495 (エ)。

このように計算を繰り返すと、最終的に495にたどり着きます。

(2) 下線部の内容が成り立つことの説明

3つの数字a, b, c (9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 0, a, b, cがすべて同じ場合は除く)を用いてできる3桁の自然数のうち、最も大きい数をA、最も小さい数をBとします。

A = 100a + 10b + c

B = 100c + 10b + a

A - B = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99(a - c)

a - cの値は1から9のいずれかであるから、A - Bの値は9通りあります。

その9通りについて、上の会話と同じような計算をすると、すべて最後は495になります。したがって、下線部の内容は成り立ちます。

(3) 4桁の自然数におけるカプレカ数の探索

4桁の自然数で同様の操作をしたとき、カプレカ数は存在します。

例えば、ある4桁の数について、各位の数字を並べ替えてできる最大の数と最小の数の差を計算することを繰り返すと、6174にたどり着きます。この6174をカプレカ数といいます。

例：5432 → 5432 - 2345 = 3087 → 8730 - 0378 = 8352 → 8532 - 2358 = 6174 → 7641 - 1467 = 6174

他の例として、2005 → 5200 - 0025 = 5175 → 7551 - 1557 = 5994 → 9954 - 4599 = 5355 → 5553 - 3555 = 1998 → 9981 - 1899 = 8082 → 8820 - 0288 = 8532 → 8532 - 2358 = 6174

したがって、4桁の自然数におけるカプレカ数は6174です。

3. 最終的な答え

(1) ア: 693, イ: 594, ウ: 495, エ: 495

(2) (説明は上記参照)

(3) 存在する。6174