整数 $n$ に関する以下の6つの命題を証明します。 (1) $n^2 + n$ を 5 で割ったときの余りは 0, 1, 2 のいずれかである。 (2) $n^2$ を 7 で割ったときの余りは 0, 1, 2, 4 のいずれかである。 (3) $n^2 + 1$ は 3 の倍数ではない。 (4) $n$ を奇数とするとき、$n^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 である。 (5) $n$ を奇数とするとき、$(n^2 + 3)(n^2 + 7)$ は 32 の倍数である。 (6) $n^9 - n^3$ は 9 の倍数である。

1. 問題の内容

整数 $n$ に関する以下の6つの命題を証明します。

(1) $n^2 + n$ を 5 で割ったときの余りは 0, 1, 2 のいずれかである。

(2) $n^2$ を 7 で割ったときの余りは 0, 1, 2, 4 のいずれかである。

(3) $n^2 + 1$ は 3 の倍数ではない。

(4) $n$ を奇数とするとき、$n^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 である。

(5) $n$ を奇数とするとき、$(n^2 + 3)(n^2 + 7)$ は 32 の倍数である。

(6) $n^9 - n^3$ は 9 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $n^2 + n$ を 5 で割ったときの余りを考える。$n$ を 5 で割った余りは 0, 1, 2, 3, 4 のいずれかである。それぞれの場合について $n^2 + n$ を 5 で割った余りを計算する。

- $n = 5k$ のとき, $n^2 + n = (5k)^2 + 5k = 25k^2 + 5k = 5(5k^2 + k)$ なので、余りは 0。

- $n = 5k + 1$ のとき, $n^2 + n = (5k + 1)^2 + (5k + 1) = 25k^2 + 10k + 1 + 5k + 1 = 25k^2 + 15k + 2 = 5(5k^2 + 3k) + 2$ なので、余りは 2。

- $n = 5k + 2$ のとき, $n^2 + n = (5k + 2)^2 + (5k + 2) = 25k^2 + 20k + 4 + 5k + 2 = 25k^2 + 25k + 6 = 5(5k^2 + 5k + 1) + 1$ なので、余りは 1。

- $n = 5k + 3$ のとき, $n^2 + n = (5k + 3)^2 + (5k + 3) = 25k^2 + 30k + 9 + 5k + 3 = 25k^2 + 35k + 12 = 5(5k^2 + 7k + 2) + 2$ なので、余りは 2。

- $n = 5k + 4$ のとき, $n^2 + n = (5k + 4)^2 + (5k + 4) = 25k^2 + 40k + 16 + 5k + 4 = 25k^2 + 45k + 20 = 5(5k^2 + 9k + 4)$ なので、余りは 0。

したがって、$n^2 + n$ を 5 で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかである。

(2) $n^2$ を 7 で割ったときの余りを考える。$n$ を 7 で割った余りは 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかである。それぞれの場合について $n^2$ を 7 で割った余りを計算する。

- $n = 7k$ のとき, $n^2 = (7k)^2 = 49k^2 = 7(7k^2)$ なので、余りは 0。

- $n = 7k + 1$ のとき, $n^2 = (7k + 1)^2 = 49k^2 + 14k + 1 = 7(7k^2 + 2k) + 1$ なので、余りは 1。

- $n = 7k + 2$ のとき, $n^2 = (7k + 2)^2 = 49k^2 + 28k + 4 = 7(7k^2 + 4k) + 4$ なので、余りは 4。

- $n = 7k + 3$ のとき, $n^2 = (7k + 3)^2 = 49k^2 + 42k + 9 = 7(7k^2 + 6k + 1) + 2$ なので、余りは 2。

- $n = 7k + 4$ のとき, $n^2 = (7k + 4)^2 = 49k^2 + 56k + 16 = 7(7k^2 + 8k + 2) + 2$ なので、余りは 2。

- $n = 7k + 5$ のとき, $n^2 = (7k + 5)^2 = 49k^2 + 70k + 25 = 7(7k^2 + 10k + 3) + 4$ なので、余りは 4。

- $n = 7k + 6$ のとき, $n^2 = (7k + 6)^2 = 49k^2 + 84k + 36 = 7(7k^2 + 12k + 5) + 1$ なので、余りは 1。

したがって、$n^2$ を 7 で割った余りは 0, 1, 2, 4 のいずれかである。

(3) $n^2 + 1$ が 3 の倍数ではないことを示す。$n$ を 3 で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかである。

- $n = 3k$ のとき, $n^2 + 1 = (3k)^2 + 1 = 9k^2 + 1 = 3(3k^2) + 1$ なので、余りは 1。

- $n = 3k + 1$ のとき, $n^2 + 1 = (3k + 1)^2 + 1 = 9k^2 + 6k + 1 + 1 = 9k^2 + 6k + 2 = 3(3k^2 + 2k) + 2$ なので、余りは 2。

- $n = 3k + 2$ のとき, $n^2 + 1 = (3k + 2)^2 + 1 = 9k^2 + 12k + 4 + 1 = 9k^2 + 12k + 5 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 2$ なので、余りは 2。

いずれの場合も $n^2 + 1$ を 3 で割った余りは 0 にならないので、$n^2 + 1$ は 3 の倍数ではない。

(4) $n$ を奇数とするとき、$n^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 であることを示す。$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ と表せる。

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1$

$k$ または $k + 1$ は偶数なので、$k(k + 1)$ は偶数である。したがって、$k(k + 1) = 2l$ と表せる。

$n^2 = 4(2l) + 1 = 8l + 1$

したがって、$n^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 である。

(5) $n$ を奇数とするとき、$(n^2 + 3)(n^2 + 7)$ は 32 の倍数であることを示す。$n$ が奇数なので、$n = 2k + 1$ と表せる。

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1$

$(n^2 + 3)(n^2 + 7) = (4k^2 + 4k + 1 + 3)(4k^2 + 4k + 1 + 7) = (4k^2 + 4k + 4)(4k^2 + 4k + 8) = 4(k^2 + k + 1) \cdot 4(k^2 + k + 2) = 16(k^2 + k + 1)(k^2 + k + 2)$

$k^2 + k = k(k + 1)$ は連続する整数の積なので偶数である。したがって、$k^2 + k = 2l$ と表せる。

$16(2l + 1)(2l + 2) = 16(2l + 1) \cdot 2(l + 1) = 32(2l + 1)(l + 1)$

したがって、$(n^2 + 3)(n^2 + 7)$ は 32 の倍数である。

(6) $n^9 - n^3$ は 9 の倍数であることを示す。

$n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1) = n^3(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n^3(n - 1)(n^2 + n + 1)(n + 1)(n^2 - n + 1) = (n - 1)n(n + 1)n^2(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1)$

$(n - 1)n(n + 1)$ は連続する 3 つの整数の積なので、3 の倍数である。

$n^9 - n^3 = n^3(n^6 - 1) = n^3(n^2 - 1)(n^4 + n^2 + 1) = n^3(n-1)(n+1)(n^4 + n^2 + 1) = (n-1)n(n+1)n^2(n^4 + n^2 + 1)$.

$n \equiv 0, 1, 2 \pmod 3$ で場合分けする。

- $n \equiv 0 \pmod 3$ ならば $n^3 \equiv 0 \pmod 9$ なので、$n^9 - n^3 \equiv 0 \pmod 9$.

- $n \equiv 1 \pmod 3$ ならば、$n = 3k + 1$. $n^3 = (3k+1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1$. $n^9 - n^3 \equiv 1 - (9k+1) \equiv -9k \equiv 0 \pmod 9$.

- $n \equiv 2 \pmod 3$ ならば、$n = 3k + 2$. $n^3 = (3k+2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8$. $n^9 - n^3 \equiv 2^9 - 2^3 = 512-8 = 504 = 9 * 56$ なので $n^9-n^3$ は9の倍数。

よって$n^9 - n^3$ は 9 の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + n$ を 5 で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかである。

(2) $n^2$ を 7 で割った余りは 0, 1, 2, 4 のいずれかである。

(3) $n^2 + 1$ は 3 の倍数ではない。

(4) $n$ を奇数とするとき、$n^2$ を 8 で割ったときの余りは 1 である。

(5) $n$ を奇数とするとき、$(n^2 + 3)(n^2 + 7)$ は 32 の倍数である。

(6) $n^9 - n^3$ は 9 の倍数である。