x, y が実数であるとき、以下の(1)から(4)の文について、空欄に当てはまるものを選択肢（①必要十分条件である、②必要条件であるが十分条件ではない、③十分条件であるが必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない）から選ぶ。 (1) $x > 2$ かつ $y > 2$ は $xy > x + y$ であるための[空欄] (2) $xy + 1 > x + y$ は $|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ であるための[空欄] (3) $x = y = 2$ は $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$ であるための[空欄] (4) $y \leq x$ は $y \leq x^2$ であるための[空欄]

1. 問題の内容

x, y が実数であるとき、以下の(1)から(4)の文について、空欄に当てはまるものを選択肢（①必要十分条件である、②必要条件であるが十分条件ではない、③十分条件であるが必要条件ではない、④必要条件でも十分条件でもない）から選ぶ。

(1) $x > 2$ かつ $y > 2$ は $xy > x + y$ であるための[空欄]

(2) $xy + 1 > x + y$ は $|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ であるための[空欄]

(3) $x = y = 2$ は $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$ であるための[空欄]

(4) $y \leq x$ は $y \leq x^2$ であるための[空欄]

2. 解き方の手順

(1) $x > 2$ かつ $y > 2$ $\Rightarrow$ $xy > x + y$

$x > 2$ かつ $y > 2$ ならば、$xy > 2y$ かつ $x > 2$ であるので、$xy > 2y > y$ かつ $xy > 2x > x$。したがって、$xy > x + y$ が成り立つ。

$xy > x + y$ $\Rightarrow$ $x > 2$ かつ $y > 2$

$xy > x + y$ を満たすが、$x > 2$ かつ $y > 2$ を満たさない例を挙げる。$x = 3, y = 1$ とすると、$xy = 3, x + y = 4$ なので、$xy > x + y$ は成り立たない。$x = 4, y = 1$ とすると、$xy=4, x+y = 5$ なので、$xy > x + y$ は成り立たない。$x=5, y=1$ とすると、$xy=5, x+y=6$ なので、$xy > x + y$ は成り立たない。 $x = 3$ で $y < 1$の場合も考えられる。$x=3, y=-1$とすると、$xy=-3, x+y=2$ なので$xy > x + y$は成り立たない。例えば、$x = -3, y = -3$ とすると、$xy = 9, x + y = -6$ となり、$xy > x + y$ が成り立つが、$x > 2$ かつ $y > 2$ は満たさない。よって、$xy > x + y$ は $x > 2$ かつ $y > 2$ であるための必要条件ではない。

したがって、$x > 2$ かつ $y > 2$ は $xy > x + y$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(2) $xy + 1 > x + y$ $\Rightarrow$ $|x| < 1$ かつ $|y| < 1$

$xy + 1 > x + y$ は $(x-1)(y-1) > 0$ と同値である。

したがって、$x > 1$ かつ $y > 1$ または $x < 1$ かつ $y < 1$ である。

$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ ではない例：$x = 2, y = 2$ のとき、$xy + 1 = 5, x + y = 4$ なので、$xy + 1 > x + y$ が成り立つが、$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ は成り立たない。したがって、$xy + 1 > x + y$ は $|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ であるための必要条件ではない。

$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ $\Rightarrow$ $xy + 1 > x + y$

$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ は $-1 < x < 1$ かつ $-1 < y < 1$ と同値である。

$x = 0.5, y = 0.5$ のとき、$xy + 1 = 1.25, x + y = 1$ なので、$xy + 1 > x + y$ が成り立つ。$x = -0.5, y = -0.5$ のとき、$xy + 1 = 1.25, x + y = -1$ なので、$xy + 1 > x + y$ が成り立つ。

$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ ならば、$xy + 1 - x - y = (1 - x)(1 - y) > 0$ なので、$xy + 1 > x + y$ が成り立つ。

したがって、$|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ は $xy + 1 > x + y$ であるための十分条件である。

したがって、$xy + 1 > x + y$ は $|x| < 1$ かつ $|y| < 1$ であるための十分条件ではないが必要条件でもない。

(3) $x = y = 2$ $\Leftrightarrow$ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$

$x = y = 2$ ならば、$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (2 - 2)^2 + (2 - 2)^2 = 0 + 0 = 0$ なので、$x = y = 2$ $\Rightarrow$ $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$ が成り立つ。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$ ならば、$(x - 2)^2 \geq 0$ かつ $(y - 2)^2 \geq 0$ なので、$x - 2 = 0$ かつ $y - 2 = 0$ でなければならない。したがって、$x = 2$ かつ $y = 2$ なので、$x = y = 2$ である。

したがって、$x = y = 2$ は $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 0$ であるための必要十分条件である。

(4) $y \leq x$ $\Rightarrow$ $y \leq x^2$

$y \leq x$ ならば、$y \leq x^2$ とは限らない。例：$x = -2, y = 0$ とすると、$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2$ も成り立つ。$x = -1, y = 0$ のときも$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2$ も成り立つ。$x = 0, y = 0$ のときも$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2$ も成り立つ。

$x = -1, y = 1$ とすると、$y \leq x$ は成り立たない。

$x = -0.5, y = -0.3$ とすると、$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2$ も成り立つ。

$x = -0.5, y = 0$ とすると、$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2$ も成り立つ。

$x = -0.5, y = -0.7$ とすると、$y \leq x$ は成り立つが、$y \leq x^2=0.25$ となるので$y < x^2$となる。

$y > x^2$ である例：$y = 1/3, x = 1/4$ とすると、$y > x$ である。

$y = -2, x = -1$ ならば $y \leq x$ であり、$y = -2, x^2 = 1$ ならば $y \leq x^2$である。

$x = -2, y = 3$ のとき、$y > x$ である。$y = 3, x^2 = 4$ なので、$y \leq x^2$ である。

$y \leq x^2$ $\Rightarrow$ $y \leq x$

$y = 0, x = -1$ のとき、$y \leq x^2$ は成り立つ。$y \leq x$ も成り立つ。

$y = 0, x = 1$ のとき、$y \leq x^2$ は成り立つ。$y \leq x$ も成り立つ。

$y = 0.5, x = 0$ のとき、$y \leq x^2 = 0$ は成り立たない。$y \leq x = 0$ も成り立たない。

$x = 0.5, y = 0.2$ のとき、$y \leq x$ であり、$y \leq x^2=0.25$となる。

$y \leq x^2$ を満たすが、$y \leq x$ を満たさない例：$x = 0.5, y = 0.3$ とすると、$x^2 = 0.25$ なので、$y \leq x^2$ は成り立たない。$y = 0.2, x = 0.5$ なら $y \leq x^2$ が成り立つが、$y \leq x$ も成り立つ。

$y \leq x$ ならば $y \leq x^2$ とは限らないので必要条件ではない。

$y = 0.5$ で $x = 0.3$ とすると、$y \leq x^2$ は成り立たない。$y > x$ より、$y \leq x$ は成り立たない。

$y \leq x^2$ を満たすが $y \leq x$ を満たさない場合を探す。例えば $x = 0.5, y = 0.2$ の場合 $y \leq x$ と $y \leq x^2$ が共に成り立つので適さない。$y = -1, x = -0.5$とすると、$y < x$ である。

$y= -0.6, x=-1/3$　なら　$y<x$ が満たされ$y=-0.6 < x^2=(1/9)$.

したがって、$y \leq x$ は $y \leq x^2$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1): 3

(2): 4

(3): 1

(4): 2