$x$ と $y$ は0以上の実数である。以下の2つの条件AとBの関係を正しく述べているものを選択する。 条件A: $x + y \le 1$ 条件B: $x^m + y^m \le 1$ (ここで、$m$は2以上の自然数)

1. 問題の内容

$x$ と $y$ は0以上の実数である。以下の2つの条件AとBの関係を正しく述べているものを選択する。

条件A: $x + y \le 1$

条件B: $x^m + y^m \le 1$ (ここで、$m$は2以上の自然数)

2. 解き方の手順

まず、条件Aを満たす$(x, y)$が条件Bを満たすかどうかを考えます。条件Aより$x \le 1$かつ$y \le 1$です。$m \ge 2$なので、$0 \le x \le 1$ならば$x^m \le x$、$0 \le y \le 1$ならば$y^m \le y$です。したがって、$x^m + y^m \le x + y$が成り立ちます。条件Aより$x + y \le 1$なので、$x^m + y^m \le x + y \le 1$となり、$x^m + y^m \le 1$が成り立ちます。つまり、条件Aを満たすならば必ず条件Bを満たします。

次に、条件Bを満たす$(x, y)$が条件Aを満たすかどうかを考えます。条件Bを満たす$(x, y)$に対し、$x+y \le 1$が成り立つとは限りません。

例えば、$x = 1$ かつ $y = 1$ のとき、$x^m + y^m = 1^m + 1^m = 1+1=2 > 1$なので、条件Bを満たしません。

しかし、$x = 0.9$ かつ $y = 0.9$ のとき、$x^m + y^m = (0.9)^m + (0.9)^m$ を考えると、$m=2$のとき $(0.9)^2 + (0.9)^2 = 0.81 + 0.81 = 1.62 > 1$です。$m=3$のとき$(0.9)^3 + (0.9)^3 = 0.729 + 0.729 = 1.458 > 1$です。$m$が大きくなるほど$x^m$と$y^m$は小さくなりますが、$x+y = 1.8 > 1$となります。

一方、例えば $x = \sqrt[m]{0.6}, y = \sqrt[m]{0.6}$ とすると、$x^m + y^m = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1$ なので条件Bを満たさず、このときに $x+y = 2 \sqrt[m]{0.6}$ であり、$m$が大きくなるほど $x+y$ は 2 に近づきます。$2 > 1$ なので条件 A を満たしません。

$x$と$y$の値によっては条件Bを満たしていても条件Aを満たすとは限りません。したがって、条件Aを満たすならば必ず条件Bを満たすが、条件Bを満たしていても条件Aを満たすとは限らないという選択肢が正しいです。

3. 最終的な答え

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