問題は、「$|x+y|=0$ は $|x|+|y|=0$ であるための何条件か」を問うています。つまり、十分条件、必要条件、必要十分条件、またはどれでもないかを答える必要があります。

1. 問題の内容

問題は、「$|x+y|=0$ は $|x|+|y|=0$ であるための何条件か」を問うています。つまり、十分条件、必要条件、必要十分条件、またはどれでもないかを答える必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $|x+y|=0$ のとき、 $x+y=0$ が成り立ちます。したがって、$y = -x$ です。

(2) $|x|+|y|=0$ のとき、$|x|\geq 0$ かつ $|y|\geq 0$ であることから、$|x|=0$ かつ $|y|=0$ でなければなりません。したがって、$x=0$ かつ $y=0$ です。

(3) $|x+y|=0$ ならば $|x|+|y|=0$ かを検討します。$|x+y|=0$ ならば $x+y=0$、つまり $y = -x$ です。このとき、$|x|+|y|=|x|+|-x|=|x|+|x|=2|x|$ となります。$|x+y|=0$ から $2|x|=0$ が導かれるためには、$x=0$ である必要があります。したがって、$y=0$ となり、$x=0$ かつ $y=0$ が導かれます。つまり、$|x|+|y|=0$ が成り立ちます。

(4) $|x|+|y|=0$ ならば $|x+y|=0$ かを検討します。$|x|+|y|=0$ ならば $x=0$ かつ $y=0$ です。このとき、$|x+y|=|0+0|=0$ となるので、$|x+y|=0$ が成り立ちます。

(5) 上記(3)と(4)から、$|x+y|=0$ であることと $|x|+|y|=0$ であることは同値です。

3. 最終的な答え

必要十分条件