$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ とおくと、与えられた方程式は

$\sin(t) = -\frac{1}{2}$ となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ である。

$\sin(t) = -\frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値は、$t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ である。

$t = \theta - \frac{\pi}{3}$ なので、$\theta = t + \frac{\pi}{3}$ である。

したがって、$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし、$\frac{13\pi}{6}$ は $0 \le \theta < 2\pi$ を満たさないので、$\frac{13\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6}$ ではない。$\theta = \frac{13\pi}{6}$は解ではない。

$-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$ を満たす $\sin(t) = -\frac{1}{2}$ の解は $t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ であるから、$t = \frac{7\pi}{6}$ とすると、$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ となる。

$t = \frac{11\pi}{6}$ とすると、$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6}$ となるが、$\frac{13\pi}{6} > 2\pi$ であるので、$0 \le \theta < 2\pi$ を満たさない。

したがって、$\theta = \frac{3\pi}{2}$のみが解となる。

しかし、$t$ の範囲は $-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3}$ なので、$-\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{7\pi}{3}$

$\sin(t) = -\frac{1}{2}$ となる $t$ は $\frac{7\pi}{6}$ と $\frac{11\pi}{6}$

なので、$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{2}$ と $\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{6}$

$\frac{13\pi}{6}$ は $2\pi$ より大きいので、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3\pi}{2}$