(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ の極限値を求める。 (2) $f(x) = x^2$ ($x \ge 0$), $g(x) = \sqrt{x}$ とする。関数の合成を用いて、$f(x)$ と $g(x)$ が互いに逆関数であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ の極限値を求める。

(2) $f(x) = x^2$ ($x \ge 0$), $g(x) = \sqrt{x}$ とする。関数の合成を用いて、$f(x)$ と $g(x)$ が互いに逆関数であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 極限を求める。

$x$ が 1 に近づくとき、$\frac{x^2 - 1}{x + 2}$ は $\frac{1^2 - 1}{1 + 2}$ に近づく。

したがって、

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2} = \frac{1^2 - 1}{1 + 2} = \frac{1 - 1}{3} = \frac{0}{3} = 0$$

(2) 逆関数であることを示す。

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が互いに逆関数であるためには、$f(g(x)) = x$ かつ $g(f(x)) = x$ が成り立つ必要がある。

$f(x) = x^2$ ($x \ge 0$) と $g(x) = \sqrt{x}$ なので、

$$f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$$

$$g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = |x|$$

$x \ge 0$ の範囲なので、$\sqrt{x^2} = x$ となる。したがって、$g(f(x)) = x$

よって、$f(g(x)) = x$ かつ $g(f(x)) = x$ が成り立つので、$f(x)$ と $g(x)$ は互いに逆関数である。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $f(g(x)) = x$ かつ $g(f(x)) = x$ なので、$f(x)$ と $g(x)$ は互いに逆関数である。