$y = \tan x$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

1. 問題の内容

$y = \tan x$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでべき級数として展開するもので、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

今回は2次の項までなので、上の式の3項目までを計算します。

まず、$f(x) = \tan x$ なので、

$f(0) = \tan 0 = 0$

次に、$f(x)$ の1階微分 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$f'(0) = \frac{1}{\cos^2 0} = \frac{1}{1^2} = 1$

さらに、$f(x)$ の2階微分 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{\cos^2 x}) = \frac{d}{dx}(\cos^{-2} x) = -2(\cos^{-3} x)(-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$

したがって、

$f''(0) = \frac{2\sin 0}{\cos^3 0} = \frac{2 \cdot 0}{1^3} = 0$

よって、マクローリン展開の2次の項までの式は以下のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2}x^2 = x$

3. 最終的な答え

$y = x$