不定積分 $\int \frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} dx$ を求めよ。ただし、積分定数は $C$ を用いること。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} dx$ を求めよ。ただし、積分定数は $C$ を用いること。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を変形する。

$\frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} = \frac{\cos(x)-1+1}{1-\cos(x)} = \frac{\cos(x)-1}{1-\cos(x)} + \frac{1}{1-\cos(x)} = -1 + \frac{1}{1-\cos(x)}$

次に、$\frac{1}{1-\cos(x)}$ を変形する。

$\frac{1}{1-\cos(x)} = \frac{1}{1-\cos(x)} \cdot \frac{1+\cos(x)}{1+\cos(x)} = \frac{1+\cos(x)}{1-\cos^2(x)} = \frac{1+\cos(x)}{\sin^2(x)} = \frac{1}{\sin^2(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

$= \csc^2(x) + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

したがって、

$\frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} = -1 + \csc^2(x) + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}$

ここで、$\int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + C$ であり、$\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} dx$ を計算するために、$u = \sin(x)$ と置換すると、$du = \cos(x) dx$ となり、

$\int \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{\sin(x)} + C = -\csc(x) + C$

したがって、

$\int \frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} dx = \int \left(-1 + \csc^2(x) + \frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}\right) dx = -x - \cot(x) - \csc(x) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\cos(x)}{1-\cos(x)} dx = -x - \cot(x) - \csc(x) + C$