$y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = x^2 \sin x$ のマクローリン級数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin x$ のマクローリン級数は以下の通りです。

$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

したがって、$x^2 \sin x$ のマクローリン級数は、$\sin x$ のマクローリン級数に $x^2$ をかけることで得られます。

$x^2 \sin x = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+3}$

これを展開すると、以下のようになります。

$x^2 \sin x = x^2 (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots) = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$

3. 最終的な答え

$x^2 \sin x$ のマクローリン級数は、

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+3} = x^3 - \frac{x^5}{3!} + \frac{x^7}{5!} - \frac{x^9}{7!} + \cdots$