与えられた数式の値を計算します。数式は $\frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} + \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$\frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} + \frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}}$ を有理化するために、分子と分母に $2 + \sqrt{6}$ を掛けます。

$$\frac{2 + \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} \cdot \frac{2 + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} = \frac{(2 + \sqrt{6})^2}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{4 + 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{-2} = -5 - 2\sqrt{6}$$

次に、$\frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}}$ を有理化するために、分子と分母に $2 - \sqrt{6}$ を掛けます。

$$\frac{2 - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6}} \cdot \frac{2 - \sqrt{6}}{2 - \sqrt{6}} = \frac{(2 - \sqrt{6})^2}{(2 + \sqrt{6})(2 - \sqrt{6})} = \frac{4 - 4\sqrt{6} + 6}{4 - 6} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{-2} = -5 + 2\sqrt{6}$$

最後に、これらの結果を足し合わせます。

$$(-5 - 2\sqrt{6}) + (-5 + 2\sqrt{6}) = -5 - 2\sqrt{6} - 5 + 2\sqrt{6} = -10$$

3. 最終的な答え

-10