$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^x + 2^{-x}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$2^x - 2^{-x} = 3$ のとき、$2^x + 2^{-x}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた式 $2^x - 2^{-x} = 3$ を利用して、$2^x + 2^{-x}$ の値を求めます。

まず、両辺を2乗します。

$(2^x - 2^{-x})^2 = 3^2$

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} = 9$

$2^{2x} - 2 + 2^{-2x} = 9$

$2^{2x} + 2^{-2x} = 11$

次に、$2^x + 2^{-x}$ の2乗を考えます。

$(2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x}$

$(2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x}$

$2^{2x} + 2^{-2x} = 11$ であったので、

$(2^x + 2^{-x})^2 = 11 + 2 = 13$

$2^x + 2^{-x} > 0$ であるから、

$2^x + 2^{-x} = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{13}$