複数の問題が提示されています。以下にそれぞれの問題の内容をまとめます。 * 問題10: 3点 $A(2, -1)$, $B(4, 5)$, $C(-3, 1)$ を頂点とする三角形の面積を求める。 * 問題11: $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$、線分 $BC$ と線分 $OD$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答える。 * (1) $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。 * (2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{tCB}$ を変形し、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。 * (3) $OP:PD$ を求める。 * 問題12: 2点 $A(-2, 6)$, $B(7, 5)$ を通る直線を媒介変数 $t$ を使って表す。 * 問題13: 点 $(3, 1)$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{n} = (2, 1)$ に垂直な直線の方程式を求める。 * 問題14: 点 $(-1, -2)$ と直線 $2x - 3y - 9 = 0$ との距離を求める。 * 問題15: 3点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, -3, \sqrt{5})$, $C(1, -1, 0)$ について、$\angle ACB = \theta$ とする。 * (1) $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}$ を成分で表す。 * (2) $\theta$ の値を求める。 * (3) $\triangle ABC$ の面積を求める。 * 問題16: 2つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)$, $\overrightarrow{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

1. 問題の内容

複数の問題が提示されています。以下にそれぞれの問題の内容をまとめます。

* 問題10: 3点 $A(2, -1)$, $B(4, 5)$, $C(-3, 1)$ を頂点とする三角形の面積を求める。

* 問題11: $\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $D$、線分 $BC$ と線分 $OD$ の交点を $P$ とするとき、以下の問いに答える。

* (1) $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

* (2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{tCB}$ を変形し、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

* (3) $OP:PD$ を求める。

* 問題12: 2点 $A(-2, 6)$, $B(7, 5)$ を通る直線を媒介変数 $t$ を使って表す。

* 問題13: 点 $(3, 1)$ を通り、ベクトル $\overrightarrow{n} = (2, 1)$ に垂直な直線の方程式を求める。

* 問題14: 点 $(-1, -2)$ と直線 $2x - 3y - 9 = 0$ との距離を求める。

* 問題15: 3点 $A(2, 2, 0)$, $B(2, -3, \sqrt{5})$, $C(1, -1, 0)$ について、$\angle ACB = \theta$ とする。

* (1) $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}$ を成分で表す。

* (2) $\theta$ の値を求める。

* (3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

* 問題16: 2つのベクトル $\overrightarrow{a} = (2, -1, 3)$, $\overrightarrow{b} = (0, -2, 1)$ の両方に垂直で、大きさが $3\sqrt{5}$ のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

以下に各問題の解き方を説明します。

* **問題10:**

1. ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を計算する。 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (4-2, 5-(-1)) = (2, 6)$, $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (-3-2, 1-(-1)) = (-5, 2)$.

2. 三角形の面積 $S$ は、 $S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |$ で求められる。2次元ベクトルの外積の絶対値は、$| (x_1, y_1) \times (x_2, y_2) | = |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ で計算できる。

3. $S = \frac{1}{2} | (2)(2) - (-5)(6) | = \frac{1}{2} |4 + 30| = \frac{1}{2} |34| = 17$.

* **問題11:**

* (1) $\overrightarrow{OD}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

点Dは辺ABを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

* (2) $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{tCB}$ を変形し、$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す。

点Cは辺OAを3:2に内分するので、$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t\overrightarrow{CB} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}) = (\frac{3}{5}-\frac{3}{5}t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$

また、点Pは線分OD上にあるので、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OD} = k(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}) = \frac{k}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2k}{3}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3}{5} - \frac{3}{5}t = \frac{k}{3}$ かつ $t = \frac{2k}{3}$

$k = \frac{9}{5} - \frac{9}{5}t = \frac{9}{5} - \frac{9}{5} \cdot \frac{2k}{3} = \frac{9}{5} - \frac{6}{5}k$

$\frac{11}{5}k = \frac{9}{5}$

$k = \frac{9}{11}$

したがって、$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11}\overrightarrow{OA} + \frac{6}{11}\overrightarrow{OB}$

* (3) $OP:PD$ を求める。

$\overrightarrow{OP} = \frac{9}{11}\overrightarrow{OD}$ より、$OP:OD = 9:11$

$OD = OP + PD$ なので、$OP:PD = 9:(11-9) = 9:2$

$OP:PD=9:2$

* **問題12:**

1. ベクトル $\overrightarrow{AB}$ を計算する。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (7 - (-2), 5 - 6) = (9, -1)$.

2. 直線上の任意の点 $P(x, y)$ は、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{AB}$ と表せる。

3. $(x, y) = (-2, 6) + t(9, -1) = (-2 + 9t, 6 - t)$.

4. したがって、直線の媒介変数表示は $x = -2 + 9t, y = 6 - t$ である。

* **問題13:**

1. 求める直線は、点 $(3, 1)$ を通り、法線ベクトルが $\overrightarrow{n} = (2, 1)$ である。

2. 直線上の任意の点 $(x, y)$ に対して、ベクトル $(x - 3, y - 1)$ は $\overrightarrow{n}$ に垂直である。

3. したがって、$\overrightarrow{n} \cdot (x - 3, y - 1) = 0$ である。

4. $(2, 1) \cdot (x - 3, y - 1) = 2(x - 3) + (y - 1) = 0$.

5. $2x - 6 + y - 1 = 0$.

6. 直線の方程式は $2x + y - 7 = 0$ である。

* **問題14:**

1. 点 $(-1, -2)$ と直線 $2x - 3y - 9 = 0$ との距離 $d$ は、公式 $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で求められる。ここで、$(x_0, y_0) = (-1, -2)$ であり、直線の方程式は $ax + by + c = 0$ であり、$a = 2, b = -3, c = -9$ である。

2. $d = \frac{|2(-1) - 3(-2) - 9|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|-2 + 6 - 9|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-5|}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{13}$.

* **問題15:**

* (1) $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}$ を成分で表す。

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{C} = (2-1, 2-(-1), 0-0) = (1, 3, 0)$.

$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (2-1, -3-(-1), \sqrt{5}-0) = (1, -2, \sqrt{5})$.

* (2) $\theta$ の値を求める。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}|} = \frac{(1)(1) + (3)(-2) + (0)(\sqrt{5})}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 0^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (\sqrt{5})^2}} = \frac{1 - 6}{\sqrt{10} \sqrt{10}} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}$.

$\theta = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.

* (3) $\triangle ABC$ の面積を求める。

$\sin \theta = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| |\overrightarrow{CB}| \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{10} \sqrt{10} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

* **問題16:**

1. 求めるベクトルを $\overrightarrow{v} = (x, y, z)$ とする。$\overrightarrow{v}$ は $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の両方に垂直なので、$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{a} = 0$ かつ $\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{b} = 0$ である。

2. $2x - y + 3z = 0$ かつ $-2y + z = 0$.

3. $z = 2y$ を最初の式に代入すると、$2x - y + 6y = 0 \Rightarrow 2x + 5y = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} y$.

4. $\overrightarrow{v} = (-\frac{5}{2} y, y, 2y) = y(-\frac{5}{2}, 1, 2)$.

5. $\overrightarrow{v}$ の大きさは $3\sqrt{5}$ なので、$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{(-\frac{5}{2} y)^2 + y^2 + (2y)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} y^2 + y^2 + 4y^2} = \sqrt{\frac{25 + 4 + 16}{4} y^2} = \sqrt{\frac{45}{4} y^2} = \frac{3\sqrt{5}}{2} |y|$.

6. $\frac{3\sqrt{5}}{2} |y| = 3\sqrt{5} \Rightarrow |y| = 2 \Rightarrow y = \pm 2$.

7. $y = 2$ のとき、$\overrightarrow{v} = (-5, 2, 4)$. $y = -2$ のとき、$\overrightarrow{v} = (5, -2, -4)$.

3. 最終的な答え

* 問題10: 17

* 問題11: (1) $\overrightarrow{OD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$, (2) $\overrightarrow{OP} = \frac{3}{11}\overrightarrow{OA} + \frac{6}{11}\overrightarrow{OB}$, (3) $OP:PD=9:2$

* 問題12: $x = -2 + 9t, y = 6 - t$

* 問題13: $2x + y - 7 = 0$

* 問題14: $\frac{5\sqrt{13}}{13}$

* 問題15: (1) $\overrightarrow{CA} = (1, 3, 0), \overrightarrow{CB} = (1, -2, \sqrt{5})$, (2) $\theta = 120^{\circ}$, (3) $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

* 問題16: $(-5, 2, 4), (5, -2, -4)$