$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$のとき、以下の問いに答える。 (1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。 (2) 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

## 問題9

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$のとき、以下の問いに答える。

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

(2) 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積$\vec{a} \cdot \vec{b}$を求める。

$|\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{37}$の両辺を2乗すると、

$$|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\sqrt{37})^2$$

$$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 37$$

$$\vec{a} \cdot \vec{a} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 37$$

$$|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 37$$

$|\vec{a}| = 3$と$|\vec{b}| = 2$を代入すると、

$$3^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 \cdot 2^2 = 37$$

$$9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16 = 37$$

$$-4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 37 - 9 - 16$$

$$-4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$$

(2) 2つのベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$を求める。

内積の定義より、

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$$

$$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$を代入すると、

$$\cos{\theta} = \frac{-3}{3 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$$

よって、$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$