ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、以下の問いに答える。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

## 問題9 の解答

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$ について、 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a}-2\vec{b}| = \sqrt{37}$ のとき、以下の問いに答える。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = (\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b})$

$|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$

与えられた値を代入すると、 $(\sqrt{37})^2 = 3^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(2^2)$

$37 = 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16$

$37 = 25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$12 = -4(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$

$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

求めた内積と与えられた値を代入すると、$\cos\theta = \frac{-3}{3 \cdot 2}$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\theta = \frac{2}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $\theta = \frac{2}{3}\pi$ (または 120°)